Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Первый знак плюс в v-й строке принадлежит теперь столбцу
— v — /; экспонентами, соответствующими v-й строке табл. 2, будут
ехр[ —;(v+/)cp]+exp[ —i(v+/ —1)ср]+.. .-(-ехр [/(v-f-/ — 1)ср] +
+ ехр Ц (v 4- 0 ср] = х(г+,) (<Р). (17.13)
Вместе они дают в точности характер неприводимого представления с L = /-f-v. Тогда вся таблица будет содержать неприводимые представления с
L=l — I, I — /+ 1............/ + /— 1, / + /. (17.Е.1)
224
Глава 17
ТАБЛИЦА 2 Неприводимые представления, входящие в матрицу Д (R)
-1-1 . . . -2+1 ... 2-Т . . . 2+1
+ + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
Так, при 1^1 уровень Е-\~Е расщепляется под влиянием взаимодействия на 2/+1 уровней с орбитальными квантовыми числами (17.ЕЛ). Неприводимыми компонентами произведения ?>(г)(/?)Х X (R) в этом случае будут ?>(i) с i из (17.ЕЛ), причем каждое из этих значений L встречается один и только один раз. Если / /, роли / и / меняются местами; таким образом, в общем
случае L принимает значения
L = \l — T\, \1 — /| + 1, ..., /г-Н—1, /-н (17.14)
Эта „модель векторного сложения” (см. фиг. 9) имеет весьма обширную применимость и большое значение для всей спектроскопии. Две системы, связь между которыми устанавливается с помощью этой модели, не обязательно должны состоять из отдельных
Фиг. 9. Сложение двух моментов количества движения с / = 5 и 7=2 дает возможные значения L = 3, 4, 5, 6 и 7.
электронов'), а могут сами быть сложными системами. Модель векторного сложения, как мы увидим, применима также к сочетанию спинового квантового числа с орбитальным квантовым числом (получающееся при этом число L называется „полным квантовым числом”) или к сложению полного квантового числа с ядерным спином и т. д.
>) Разумеется, в том простом виде, в котором модель приведена здесь, она не может описывать все детали в случае двух электронов, поскольку она не учитывает тождественности частиц.
Характеристики атомных спектров
225
7. Мы знаем теперь, что представление X эквивалентно представлению
<?,( W-n > О
О
О
О
ф( \l~~l I + I)
О
о
о
о
?)(*+*-1) о
о
о
:М(Я), (17.15)
которое мы кратко обозначим через М(/?). Поэтому должна существовать матрица S, которая преобразует одно представление в другое:
®(,)'(Л)Х $(0 (/?) = S-IM(/?)S. (17.16)
Tart” как М(/?) и ?>(Z) X унитарны, можно принять (тео-
рема 1а гл. 9, стр. 96), что S унитарна, т. е. S~1 = S+.
Матрица S является квадратной матрицей в широком смысле; такие матрицы обсуждались в гл. 2. Строки и столбцы матриц
2)(г) Х®(4 нумеруются двумя индексами р и v, и так же должны быть пронумерованы столбцы матрицы S. Строки и столбцы матриц М (/?) также имеют два индекса, но иного рода: первый индекс L показывает, какое представление встречается в данной строке, а второй индекс m указывает, какая строка этого представления рассматривается. Элементами матрицы М(/?) являются
(17.17)
Поэтому строки матрицы S должны быть размечены индексами L, m, где L пробегает от (/ — /| до / + /, a m от —L до L. В подробной записи (17.16) принимает вид
^ (/?),-,?)'Г) (/?),,,= S (17.16а)
m'm L
Значение матрицы S заключается в том, что она определяет такие линейные комбинации произведений
(17.18)
226
Глава 17
которые преобразуются по неприводимым представлениям при применении операторов РдР/?, оставляющих систему (включая взаимодействие между моментами I и I) инвариантной. Функции Ч?’т преобразуются следующим образом:
Р*Р*Ч? - 2 Sim; • Рдф, =
= 2 2 5im:„©")(/?),v®(7)(/?)v-vv^ =
p.v p.V
-2 2 25lm:^W(/?) , ©,7).(/?)v,v5rm-;,-,-^’=
р.р/ w' L'm'
i'm' ’
= S-'WW, !»<'• = ? ®W (17-19)
Lrm m
Они являются поэтому собственными функциями первого приближения („правильными линейными комбинациями” из гл. 5) возмущенной составной системы.
Чтобы определить коэффициенты применим прежде всего
оператор Р/?Рд к функции (17.18), где R представляет собой вращение на угол а вокруг оси Z. Левая часть умножается при этом на ехр (-[-//ка) и то же самое должно иметь место для правой части: