Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим две системы, каждая из которых состоит в простейшем случае из одного электрона; при этом оба электрона движутся вокруг одного и того же ядра. Пусть энергия первой системы равна Е, причем система находится в состоянии с орбитальным квантовым числом I. Пусть далее • • • ,
являются 2/ —|— 1 собственными функциями этого собственного значения. Тогда
= (17.8)
р/
где р* — оператор вращения координат первой системы. Пусть энергия второй системы равна Е, орбитальное квантовое число I и собственные функции ф_^+1, •••, tyj- Тогда
Р*Ф,=2®(Ч(Л),,Л.. (17.8а)
vf
Два оператора Рд и Рд различны, так как Рд вращает координаты, от которых зависят функции а Рд вращает переменные, от которых зависит функция ф„, причем эти два набора переменных различны. Следовательно, все Рд коммутируют со всеми P/j, причем Р/?ф1( = i]>v и Рдф^ = ф , так как Р^ не действует на переменные функций a P/j—на переменные функций ф .
Если мы будем теперь рассматривать эти две системы как одну, то, согласно (17.6) и (17.6а), собственные значения будут суммами, а собственные функции — произведениями соответствующих величин для отдельных систем. Все (2/—f—1)(2/—f— 1) собственных функций
ФЖт* М-Г+1............Mr
................................... (17,9)
М-г. М-г+1.......... Ш-у Wr
принадлежат собственному значению Е-\~Е. Теперь возникает вопрос о том, какие операторы будет содержать группа составной системы, если учесть взаимодействие между системами. Ясно, что
*) См. Е. F u е s, Zs. I Phys., 51, 817 (1928).
222
Глава 17
это не все прямое произведение двух групп операторов Р/j и Рд, элементы которого РдРд соответствовали бы одновременным, но различным вращениям координатных систем переменных, от которых зависят функции фиф. Группа, которую мы должны рассматривать, это такая группа, в которой две системы осей претерпевают одно и то же вращение; эта группа не содержит всех операторов РдРд. а лишь операторы Р/?Р/?. Группа операторов Р/?Р/? изоморфна простой группе вращений. Из RQ = Т следует, что
Р/?Р/? • PqPq = P/?Pq • P/?Pq = РгРг-
Если применить операторы Р/?Р/? к функциям (17.9), то получающиеся при этом функции могут быть записаны в виде линейных комбинаций исходных.
Согласно (17.8) и (17.8а),
p*pA^=pA'P*? =
= 2®(^ЧЛ?®Гч(*>.^ =2,Д(Ч-Л^Д'- О7-10)
р/ v p/v'
Представление А (/?), принадлежащее (2/ + 1) (2/ —(— 1) функциям
(17.9) составной системы, является прямым произведением ')
двух представлений и ?>(г) отдельных систем'.
,= ®М<
Д(/?) = 2)('>(/?)Х 2>(гТ(Д).
Найдем теперь неприводимые компоненты представления А (/?). Наиболее просто это сделать, разлагая его характер по характерам неприводимых представлений. Характер представления Д (/?), где R соответствует вращению на угол ср, равен
2 Д (Л),.;,, = 2 (Я)№ 2 ®(<Г(Л)„ =
p.v p. V
t T
= XW (?) Х(Г)(?) = 2 exp (;1x?) 2 exp(;vcp). (17.12)
,= _7
') Мы имеем здесь дело с некоторым типом прямого произведения,
отличным от рассмотренных в предыдущей главе, где мы соединили две операции симметрии (вращение R и отражение /), расширяя тем самым
группу. Здесь же мы комбинируем две системы, имеющие одинаковую
симметрию; тогда составная система имеет ту же самую симметрию.
Характеристики атомных спектров
223
Чтобы разложить это выражение на неприводимые характеры, можно представить (17.12) символически в виде таблицы. Образуем столбец для каждой экспоненциальной функции ехр (Ыср)
(где х = — I — /, .... —2, —1, 0, 1, 2............^ + 0 и поставим
в этом столбце знак плюс каждый раз, когда ехр(шр) встречается в (17.12). Наименьшим значением х, которое нам встретится, будет —I—I, а наибольшим / + /; таким образом, всего в таблице будет 2/ —(— 2/ —(— 1 столбцов. Строки таблицы будем нумеровать значениями v в x = v-f-[r, таким образом, в строке v мы будем ставить знаки плюс, возникающие от 2/ —(— 1 членов exp[/(v— /)ср], ехр [/(v — / —|— 1) ср], ..., ехр [/(v —|— /) ср]. Если принять, что I > /, получим табл. 1,
ТАБЛИЦА 1 Наличие функции ехр (лир) в характере
Перемещая знаки плюс внутри столбцов, сделаем теперь так, чтобы каждая строка представляла неприводимый характер. [Это, разумеется, не меняет числа появлений ехр(тр) в суммах.] Если, например, часть таблицы, лежащую слева от пунктирной линии, повернуть на 180° вокруг строки с v = 0, отмеченной стрелкой (->), то в результате получим табл. 2.