Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 87

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 176 >> Следующая


Рассмотрим две системы, каждая из которых состоит в простейшем случае из одного электрона; при этом оба электрона движутся вокруг одного и того же ядра. Пусть энергия первой системы равна Е, причем система находится в состоянии с орбитальным квантовым числом I. Пусть далее • • • ,

являются 2/ —|— 1 собственными функциями этого собственного значения. Тогда

= (17.8)

р/

где р* — оператор вращения координат первой системы. Пусть энергия второй системы равна Е, орбитальное квантовое число I и собственные функции ф_^+1, •••, tyj- Тогда

Р*Ф,=2®(Ч(Л),,Л.. (17.8а)

vf

Два оператора Рд и Рд различны, так как Рд вращает координаты, от которых зависят функции а Рд вращает переменные, от которых зависит функция ф„, причем эти два набора переменных различны. Следовательно, все Рд коммутируют со всеми P/j, причем Р/?ф1( = i]>v и Рдф^ = ф , так как Р^ не действует на переменные функций a P/j—на переменные функций ф .

Если мы будем теперь рассматривать эти две системы как одну, то, согласно (17.6) и (17.6а), собственные значения будут суммами, а собственные функции — произведениями соответствующих величин для отдельных систем. Все (2/—f—1)(2/—f— 1) собственных функций

ФЖт* М-Г+1............Mr

................................... (17,9)

М-г. М-г+1.......... Ш-у Wr

принадлежат собственному значению Е-\~Е. Теперь возникает вопрос о том, какие операторы будет содержать группа составной системы, если учесть взаимодействие между системами. Ясно, что

*) См. Е. F u е s, Zs. I Phys., 51, 817 (1928).
222

Глава 17

это не все прямое произведение двух групп операторов Р/j и Рд, элементы которого РдРд соответствовали бы одновременным, но различным вращениям координатных систем переменных, от которых зависят функции фиф. Группа, которую мы должны рассматривать, это такая группа, в которой две системы осей претерпевают одно и то же вращение; эта группа не содержит всех операторов РдРд. а лишь операторы Р/?Р/?. Группа операторов Р/?Р/? изоморфна простой группе вращений. Из RQ = Т следует, что

Р/?Р/? • PqPq = P/?Pq • P/?Pq = РгРг-

Если применить операторы Р/?Р/? к функциям (17.9), то получающиеся при этом функции могут быть записаны в виде линейных комбинаций исходных.

Согласно (17.8) и (17.8а),

p*pA^=pA'P*? =

= 2®(^ЧЛ?®Гч(*>.^ =2,Д(Ч-Л^Д'- О7-10)

р/ v p/v'

Представление А (/?), принадлежащее (2/ + 1) (2/ —(— 1) функциям

(17.9) составной системы, является прямым произведением ')

двух представлений и ?>(г) отдельных систем'.

,= ®М<

Д(/?) = 2)('>(/?)Х 2>(гТ(Д).

Найдем теперь неприводимые компоненты представления А (/?). Наиболее просто это сделать, разлагая его характер по характерам неприводимых представлений. Характер представления Д (/?), где R соответствует вращению на угол ср, равен

2 Д (Л),.;,, = 2 (Я)№ 2 ®(<Г(Л)„ =

p.v p. V

t T

= XW (?) Х(Г)(?) = 2 exp (;1x?) 2 exp(;vcp). (17.12)

,= _7

') Мы имеем здесь дело с некоторым типом прямого произведения,

отличным от рассмотренных в предыдущей главе, где мы соединили две операции симметрии (вращение R и отражение /), расширяя тем самым

группу. Здесь же мы комбинируем две системы, имеющие одинаковую

симметрию; тогда составная система имеет ту же самую симметрию.
Характеристики атомных спектров

223

Чтобы разложить это выражение на неприводимые характеры, можно представить (17.12) символически в виде таблицы. Образуем столбец для каждой экспоненциальной функции ехр (Ыср)

(где х = — I — /, .... —2, —1, 0, 1, 2............^ + 0 и поставим

в этом столбце знак плюс каждый раз, когда ехр(шр) встречается в (17.12). Наименьшим значением х, которое нам встретится, будет —I—I, а наибольшим / + /; таким образом, всего в таблице будет 2/ —(— 2/ —(— 1 столбцов. Строки таблицы будем нумеровать значениями v в x = v-f-[r, таким образом, в строке v мы будем ставить знаки плюс, возникающие от 2/ —(— 1 членов exp[/(v— /)ср], ехр [/(v — / —|— 1) ср], ..., ехр [/(v —|— /) ср]. Если принять, что I > /, получим табл. 1,

ТАБЛИЦА 1 Наличие функции ехр (лир) в характере

Перемещая знаки плюс внутри столбцов, сделаем теперь так, чтобы каждая строка представляла неприводимый характер. [Это, разумеется, не меняет числа появлений ехр(тр) в суммах.] Если, например, часть таблицы, лежащую слева от пунктирной линии, повернуть на 180° вокруг строки с v = 0, отмеченной стрелкой (->), то в результате получим табл. 2.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed