Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 84

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 176 >> Следующая


Собственные значения (17.2) вырождены, т. е. каждому собственному значению принадлежит не одна, а несколько линейно независимых собственных функций. Собственное значение с индексом N („главное квантовое число”) является №-кратно вырожденным.

Для удобства читателей приведем нормированные собственные функции. Их удобнее всего записывать в полярных координатах г, 0, <р (см. фиг. 7, стр. 185). Собственные функции равны ')

Здесь ij = 2r/Nr0t где г0 = Ъ2/тё* — „радиус первой боровской орбиты*. Заметим, что

Мы ввели индексы I („орбитальное квантовое число") и [л. („магнитное квантовое число"), для того чтобы различить N1 собственных функций, принадлежащих собственному значению EN. При фиксированном N

число I может принимать значения 0, 1, 2......N— 1, а (л пробегает от —/

до -j- / (независимо от значения N). Таким образом, полное число собствен-

ных функций, принадлежащих EN, равно 2 (2* +1) = Выражение

') Радиальная собственная функция Rjvi (i]) нормирована так, что

f I^vi|2r2^г= ^ Сферические гармоники Ylfl уже были приведены иа

стр. 186. Заметим, что Кондон и Шортли (см. цитированную на стр. 186 книгу. — Ред.) через обозначают радиальную функцию, умноженную на ij = 2rjNr0.

< = ^/(4)^(8. Ч).

1=0
Характеристики атомных спектров

215

(15.3а) определяет Yt , нормированную сферическую гармонику '). Производная (2/+1)-го порядка от (N + /)-ro полинома Лагерра LN+l, где

Ц (т) = (—l)* [у ~ ^ У + * V~* ~ ••• +(-1)’^],

обозначена через L^}(•>]).

Выражение (17.3) для волновой функции и ее связь с Y( показывает, что орбитальное, или азимутальное, квантовое число I связано с (21 + 1)-мерным представлением группы вращений.

Спектры однократно ионизованного гелия, двукратно ионизованного лития и всех других систем, состоящих только из одного электрона и одного ядра, тесно связаны со спектром атома водорода. При этом необходимо лишь заменить потенциальную энергию в уравнении Шредингера на —Ze2jr (Z — заряд ядра),

термы — на

а т) в (17.3) — на

<17-2а>

m 2me‘Z 2Zr ,

1Р)=-&гг=Ж- (17-3а)

Волновая функция ф должна быть также умножена на Z3/» для сохранения правильной нормировки.

2. Спектр атома с несколькими, например rt, электронами не может быть рассчитан точно. Это связано со сравнительно сложным видом потенциальной энергии

XS —e*Z____________ i _l_yi__________

v = 2j V,2 J. v2д.A + 2'2j

-J Vx2 + y2 + z) 2 ^ Y(xi-xjY + {yi-y]f + (zl-zjY •

- (17.4)

Если бы в (17.4) отсутствовал второй член, включающий взаимное отталкивание электронов, электроны двигались бы только под действием постоянного поля ядра, и уравнение Шредингера

(Н! + Н2+ ... Ч-НлЖ*!, У1. *!. *2. У2, *2........ХП’ Уп> =

(17.6)

*) Как уже было отмечено ранее, фазы сферических гармоник были выбраны в соответствии с определением, данным в цитированной выше книге Кондона и Шортли. Определения и обозначения, принятые в настоящей книге, согласуются с определениями и обозначениями кииги М. Е. Rose, Multipole Fields, New York, 1955 (см. перевод: М. Роуз, Поля мультиполей, ИЛ, 1957. — Ред.). Эти определения и обозначения приведены в Приложении Д.
216

Глава П

где

Н4« * +-*- + 4-\-------zt___________(17.5а)

2т \ йх1 d>i д4 ) Vxl + yl+4

могло бы быть решено точно. Собственные значения были бы суммами, а собственные функции — произведениями соответственно собственных значений и собственных функций оператора (17.5а) и могли бы быть выражены через (17.2а), (17.3), (17.3а):

К*!’ Уи *2......Уп. *я) = 1$. (*!¦ У1’ zi) ¦ • • Уп. *„).

(17.6)

E — ••• -\-Ецп. (17.6а)

Чтобы показать это, подставим эти выражения в (17.5) и составим На+С*!.......гпУ> это Дает ......zn), так как

Ук. zk) = EN^^k(xk, Ук, zk),

а другие сомножители функции <[»(*!, ..., zn) ведут себя как постоянные относительно Hft.

Естественно, что (17.5) представляет собой лишь очень плохое приближение к действительному уравнению Шредингера. Несмотря на это, мы привыкли, по крайней мере в качестве общей ориентировки, исходить из этого или аналогичного приближения и рассматривать взаимодействие электронов как „возмущение".

В общем случае большое число собственных функций принадлежит каждому из собственных значений (17.6а), так как квантовые

числа lk, в (17.6) могут принимать различные значения при

одном и том же значении энергии. Кроме того, при заданной системе главных квантовых чисел Nk можно произвольным образом переставить отдельные электроны, не меняя собственного значения энергии. Однако если взаимодействие электронов вводится как возмущение, вырождение частично снимается и уровни расщепляются. Относительно получающихся при этом уровней, большинство из которых по-прежнему вырождено, с чисто теоретической точки зрения (если не считать грубой оценки их положения) ничего не известно, кроме их свойств симметрии. Эти последние проявляются в трансформационных свойствах соответствующих собственных функций относительно перестановки электронов, чистых вращений и инверсий (отражений)1). Поэтому каждый уровень соответствует трем представлениям: одному представлению симметрической группы, одному—группы чистых вращений и одному — группы отражений. (Последние два обычно объединяются в пред-
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed