Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
2) Функция от А означает соответствие числа J (Лх) каждому элементу группы Ах.
210
Глава 16
Собственные функции такого собственного значения, соответствующие строкам прямого произведения трех представлений, имеют три индекса, указывающих на то, каким строкам представлений трех составляющих групп они принадлежат. Две собственные функции, отличающиеся одним или более из этих трех индексов, ортогональны друг другу; это остается справедливым, даже если к ним применяется произвольный симметричный оператор. Ортогональность функций можно вывести, во-первых, из того обстоятельства, что они принадлежат различным строкам представления прямого произведения, и, во-вторых, —если различаются, скажем, их вторые индексы — из того, что они принадлежат различным строкам представления второй группы.
Если оператор = Р^Ря* первой группы применяется к функции, принадлежащей ра-й строке представления а(Л)ХЬ (В) прямого произведения двух групп, то гтолучаемая при этом функция может быть разложена по функциям, принадлежащим строкам 1а, 2а, За, ... представления а (А) X b (В). В самом деле, коэффициенты остаются такими же, как если бы второй группы вообще не было:
РлРН>р.= 2 HBXJ =
р'а' г r г
= 2 «(А) Ь,,± V = 2 в (А) , «Ь (16.5)
p'ff' r r г р' г г г
Функция, принадлежащая к ра-й строке представления а (А) X Ь (В), принадлежит тем самым р-й строке а (А) и а-й строке Ь(Б); такая функция обладает всеми свойствами этих двух классов функций.
6. При построении „правильных линейных комбинаций*, используемых в теории возмущений, линейные комбинации должны быть образованы внутри каждого семейства функций, причем семейством является набор функций, принадлежащих одной строке ар представления а(Л)ХЬ(В) прямого произведения рассматриваемых групп симметрии. Для этого мы начинаем с составления линейных комбинаций Д. /2, ..., которые принадлежат р-й строке а (Л); тогда каждая функция фрд1 принадлежащая ра-й строке а(Л)Х Ь(5), должна быть линейной комбинацией функций Д, /2...........Предположим, что ф включает также функции /', /'.............не при-
надлежащие представлению а (А) или его р-й строке, так что
= C\f\ + Cifi + ••• + ci/i + 4/2•••• (16.6)
Тогда с необходимостью получаем c\f'x + c'2f2 + c'J'b -f- ... =0. Действительно, если перенести с1/1 + с2/2+ ... в (16.6) в левую часть, то вся левая часть принадлежит р-й строке а (А)\ тогда левая часть ортогональна всем членам правой, так что обе части должны быть равны нулю.
Представления прямого произведения
211
7. Воспользуемся теоремами относительно представлений прямого произведения для нахождения неприводимых представлений трехмерной группы вращений и отражений. Группа вращений и отражений есть группа вещественных ортогональных трехмерных матриц с определителями + 1. Она является прямым произведением группы чистых вращений и группы, изоморфной группе отражений, которая состоит из тождественного элемента Е и инверсии I:
Легко видеть, что всякая вещественная ортогональная матрица может быть получена из чистого вращения путем умножения на Е или /; ее определитель либо уже равен —1—1, и в этом случае мы уже имеем дело с чистым вращением, либо, если определитель равен —1, она получается из чистого вращения путем умножения на I. Ясно также, что Е и I коммутируют со всеми матрицами группы чистых вращений (и вообще со всеми матрицами).
Группа отражений имеет два неприводимых представления: тождественное представление (известное также как положительное) и отрицательное представление, в котором матрица (1) соответствует тождественному элементу, а матрица (—L)—инверсии I. Следовательно, два представления группы вращений и отражений могут быть получены из каждого представления ?>(i)(/?) группы чистых вращений, комбинируя 2>(^(/?) с положительным и отрицательным представлениями группы отражений.
Трехмерная группа вращений и отражений имеет два (однозначных) неприводимых представления каждой нечетной размерности 1, 3, 5, ... Они могут быть обозначены символами / = 0+, 0_, 1+, 1_. 2+, ... Как представление /+, так и представление 1_ имеют размерность 2/ —1; в каждом из них одни и те же матрицы соответствуют чистым вращениям, так же как и в (2/-)-1)-мерных представлениях группы чистых вращений. В представлении 1+ та же самая матрица $l\R), которая соответствует R, отвечает теперь вращению и отражению IR; с другой стороны, в представлении 1_ матрица —%(l\R) соответствует IR.
Глава 17
ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМНЫХ СПЕКТРОВ
Собственные значения и квантовые числа
1. Воспользуемся теперь результатами из теории групп для объяснения наиболее важных характеристик атомных спектров'). Настоящая глава служит лишь для ориентировки читателя и не содержит ни подробностей, ни доказательств. Автор надеется, что, опустив математические детали, можно дать обзор закономерностей спектров в том виде, как они вытекали непосредственно из опытов.
