Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
d (AXBX)pV. рд = а (AJflfb (ЯД,,,. (16.2а)
Если л(Ах) и Ь(5Л) неприводимы, то тем же свойством обладают и d(^x5x). Если матрица (Mf'a'it,) коммутирует со всеми матрицами d (АХВХ), то можно написать
(я & (Ах)рр"Ь (^x)jj" — ^ ('^х)о' ob (^\)з'gAT р j; р''з" (16.3)
f« р«
208
Глава 16
при всех % и X. В частности, если положить сначала А=Е', а затем В = Е", то а (Е') или Ь(Е") является единичной матрицей, и (16.3) принимает вид
" (16.3а)
(ях) , = 2 ь (я*), м,.
р а ; р с ' А/аа 4 А/а а р а{ р q
ИЛИ
2 -Мр'д';рд»а (i4x) , --- 2 а (i^*)p'p'/Wpa';p'a**
р р Субматрицы, входящие в
/ -Мр'1; р*1 Жр>1;р'2 • ' ' \
Жр'2:р'1 Жр'2;р'2
(16.36)
\
(16.Е.2)
коммутируют со всеми b (Вх) при всех р' и р". Аналогичным образом из (16.36) следует, что субматрицы в
М2а';и" ^2д';2д'
/
(16.Е.З)
коммутируют со всеми а 04*) при всех а' и а". Следовательно, субматрицы как в (16.Е.2), так и в (16.Е.З), являются постоянными матрицами. Отсюда следуют соотношения
^Ip'a'j p^a" — SCT'CT"Alp'ij p^i, (16.4а)
(16.46)
M,
р'a';p^a"
V^iprl;p*b : Sp'pw1<t'; la"*
из которых получаем, что
М,
р'о ¦> Р"
— ^'(j^Alp^j. p"i — Sa'a"8p'p'TAliij 11*
(16.4)
Таким образом, сама матрица М должна быть постоянной матрицей; поэтому d(^x5x) неприводимо.
4. У нас есть теперь метод, с помощью которого можно получить неприводимые представления группы, являющейся прямым произведением двух групп, предполагая, что неприводимые представления „сомножителей” известны. При этом остается еще открытым вопрос о том, все ли неприводимые представления прямого произведения могут быть получены таким способом.
Пусть размерности неприводимых представлений группы А
обозначены через gv g2, g3.........а представлений группы В —
через Aj, Лг, Л3, .... Если скомбинировать каждое представление
Представления прямого произведения
209
первой группы с каждым представлением второй, получим неприводимые представления прямого произведения с размерностями g\h\, g\h2, .... g2hi* g2h2> • • • • Если принять, что, в силу обсуждавшейся в гл. 9 (стр. 102) теоремы, сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений группы равна ее порядку, то
g\ + g\+ ••• =п и Л2 + Л22+ ... =ш,
где пит — соответственно порядки групп А и В. Следовательно, сумма квадратов размерностей представлений прямого произведения, полученных выше, равна порядку пт прямого произведения групп:
••• +(^,)2+(^л2)2+ ••• =
= g\tn + g\m+ ... =пт.
Отсюда следует, что этот метод действительно дает все неприводимые представления]).
Эти соображения могут быть также представлены иным способом, применимым и к непрерывным группам. Все gx + g\ + ?3 + ... коэффициентов первого представления, рассматриваемых как функции2) А, образуют полную систему функций для функций от А. Аналогичным образом, Л[ + h\ -f- /г| +... коэффициентов представлений, рассматриваемых как функции от В, образуют полную систему функций от В, Поэтому все произведения этих двух систем функций образуют полную систему функций двух переменных.
5. Собственные значения дифференциального уравнения (16.Е.1) могут быть разделены на качественно различные классы; каждому собственному значению принадлежит какое-либо представление полной группы симметрии уравнения (16.Е.1) [группы операторов, оставляющих (16.Е.1) инвариантным]. Лучше всего характеризовать неприводимое представление этой группы (прямого произведения трех упомянутых групп), пользуясь тремя символами, указывающими на три неприводимых представления, из которых построено рассматриваемое представление. Так, можно сказать, что собственное значение уравнения (16.Е.1) принадлежит “симметричному представлению перестановки ядер Н, антисимметричному представлению перестановки десяти электронов и семимерному представлению группы вращений. Это утверждение подразумевает, что собственное значение принадлежит представлению прямого произведения этих трех групп, получающемуся из указанных представлений „сомножителей*.
]) Два „прямых произведениясущественно различных по своей природе, обсуждаются здесь одновременно: прямое произведение двух групп и прямое произведение двух матриц. Элементами прямого произведения групп являются АХВ>. Представление а (Лх) X b (.бх), являющееся прямым произведением а (Лх) и b (Вх), соответствует элементу АХВХ.