Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
линейных комбинаций Тхх—¦^-7’, Туу — -i- Т, Тху-\-Тух, Tyz-\- Tzy,
Tzx-\-Txz являются взаимно независимыми компонентами симметричного тензора с нулевым следом. Они принадлежат неприводимому представлению, эквивалентному
Последнее замечание показывает также, почему нецелесообразно нумеровать строки и столбцы неприводимых представлений с помощью обычных символов тензорных компонент, к которым они относятся. Этим
предоставляется слишком много свободы. Так, компонента Тхх — -^Т
симметричного тензора с нулевым следом, приведенного выше, может быть опущена, а вместо нее может быть использована компонента
Трехмерная группа чистых вращений
205
Три строки в не относятся к компонентам х, у и г вектора, так как в том случае, если бы это было так, матрица была бы вещественной.
Представление определяет преобразование вектора Tlt компонентами которого являются
Z,
r+i = y=(X-lY)
(15.34)
С помощью матрицы, входящей в (15.34), ?>* ) можно преобразовать в представление, применимое к компонентам х, у и г вектора, т. е. в матрицу для самого вращения R. Это легко видеть, если взять ^({аОО}) и 5?)(1) ((0Р0> ) из (15.29) и умножить их на преобразование из (15.34) справа и на сопряженное ему — слева. В первом случае получается матрица (15.14а'), а во втором — (15.146').
Глава 16
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1. Большинство физических задач обладают одновременно не одним, а несколькими видами симметрии. Например, в случае молекулы воды мы имеем дифференциальное уравнение
Здесь'Ж-—масса каждого из водородных ядер; Xlt Х6•—их декартовы координаты; т—масса электрона; л^, ..., дг30 — декартовы координаты электронов. В силу своей большой массы атом кислорода может считаться покоящимся в центре масс; создаваемая им потенциальная энергия включена в V. Задача, представленная уравнением (16.Е.1), имеет несколько видов симметрии: во-первых, можно переставить координаты ядер атомов водорода; во-вторых, можно переставить координаты электронов; в-третьих, вся система может быть повернута. Среди вращений следует рассматривать не только группу чистых вращений, но и полную группу вращений и отражений. При этом возникает вопрос о том, как лучше всего рассматривать совместное влияние свойств симметрии.
2. Три упомянутых выше типа операций обладают тем свойством, что операции одного типа коммутируют с операциями других. Ясно, что нет никакой разницы, переставить ли сначала координаты частиц, а затем совершить поворот, или наоборот. Поэтому принимается, что элементы каждой группы операторов коммутируют со всеми элементами других групп операторов, рассматриваемых совместно.
Рассмотрим прежде всего случай, когда уравнение (16.ЕЛ) инвариантно относительно лишь двух групп. Пусть элементами
этих двух групп будут Е', А2, А3.......Ап и Е", В2, В3.......Вт.
Тогда уравнение (16.Е.1) инвариантно не только относительно
операторов Р?' = 1, Ра2.......Рап и Ря« = 1, Рв2........Рвт, но
также относительно всех пт произведений Рл„ • Рд, этих one-
Представления прямого произведения
207
раторов (в силу упомянутой выше коммутативности: р^.рв^ = = Рв> • Рлх). Произведения Р^хРвх образуют группу в соответствии с законом операторного умножения, так как произведение двух элементов группы снова является элементом группы:
Р>4хРвх • Р^Рвх. = РЛхР^РвхР?х- = Р>Мх'Р?х?х.. (16.1)
Тождественным элементом группы является тождественный оператор Ря' • Ря" = 1. Эта группа называется прямым произведением группы Р^ и группы Рв; она является полной группой симметрии уравнения ("16.Е.1).
В общем случае прямое произведение двух групп Е', А2, ..., Ап и Е", В2, ..., Вт имеет в качестве элементов пары АХВХ, составленные из двух „сомножителей", т. е. из двух групп, из которых оно построено. Закон группового умножения имеет вид
АХВХ • Ах’Ву = АХАХ’ • В,By = АХ*В,% (16.1а)
где АХ’ = АХАХ> и Ву = В\Ву. Пишут просто Ах вместо Ах-Е" и Вх вместо Е' • By Соотношения (16.1) и (16.1а) показывают, что группа произведений Ах • изоморфна группе произведений Рл • Рв.; мы пишем РлРв. = Рлв.. Можно также исследовать
х А х_ А ХА
представления группы Ах • В* вместо представлений группы Р^Рв^.
3. Чтобы найти представление прямого произведения двух групп, рассмотрим прямое произведение матриц &(АХ) и Ь(5Х), которые соответствуют в некоторых представлениях отдельных сомножителей элементам Ах и Вх соответственно, и сопоставим его элементу АхВу Матрицы а04х) X b (В)) = d (AXB^ действительно образуют представление прямого произведения, так как, согласно соотношению (2.7),
а (Ах) X Ъ (ВО • а (Ах0 X b (Ву)=а (Ах). а М X b (Ях) • b (By) =
= a (AM ХЪ (?&>). (16.2)
Иначе говоря, произведение матриц а (Лх) X Ь (Вх) и а (Ах') X b (By), соответствующих элементам АХВХ и Ах'Ву, является матрицей, которая соответствует элементам АХВ\АХ<By = АХАХ<В\Ву. Элементами матрицы (1(ЛД)=а(Лх)ХЬ(5А) являются
