Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
где J и k являются двумя элементами множества О, а I пробегает все элементы этого множества.
2. Дальнейшее обобщение заключается в том, что строки и столбцы помечаются элементами различных множеств F и О. Тогда из (2.1) находим
Wf = 2 а,,г>,, (2.1а)
где j—элемент множества F, а I пробегает все элементы множества G. Такая матрица, элементы которой помечены элементами
различных множеств, называется прямоугольной матрицей, в отличие от квадратных матриц предыдущей главы; она преобразует вектор v в пространстве G в вектор w в пространстве F. В общем случае множество F не обязательно содержит то же число элементов, что и множество О. Если они содержат одно и то же число элементов, матрица имеет равное число строк и столбцов и называется „квадратной в более широком смысле слова“.
Пусть множество G содержит символы *, Д, ?, а множество F — числа 1 и 2. Тогда
• д ?
/5 7 3\ 1
“ \0 —1 —2/ 2
есть прямоугольная матрица. (Здесь снова сверху и справа указаны обозначения столбцов и строк.) Она преобразует вектор с компонентами vt = 1, t/д = 0, t/p = — 2 в вектор
W = аV.
Компонентами и w2 вектора w тогда будут
= а1Л + а1 д^д + а1 = 5 • 1 + 7 • 0 + 3 (—2) = —1,
W’l — “гЛ + а2 дид а2 рид = 0 • 1 + (—1) (0) + (—2) (—2) = 4.
24
Глава 2
Две прямоугольные матрицы {3 и я могут быть перемножены только в том случае, если столбцы первого сомножителя и строки второго размечены элементами одного и того же множества F, т. е. только в том случае, если строки второго сомножителя „подходят* к столбцам первого. С другой стороны, строки первого сомножителя и столбцы второго могут соответствовать совершенно различным множествам ? и О. Тогда
Y = P* (2.2а)
эквивалентно соотношению
Ъь = 2'ihPik>
где j — элемент множества Е, к — элемент множества О, а / пробегает все элементы множества F. Прямоугольная матрица а преобразует вектор в пространстве О в вектор в пространстве F\ матрица {3 тогда преобразует этот вектор в вектор пространства Е. Поэтому матрица у преобразует вектор пространства О в вектор пространства Е.
Пусть опять множество G есть совокупность символов *, Д, ?, множество F содержит буквы х и у, а множество Е — числа 1 и 2. Тогда, если
х У * Д ?
мы имеем, например,
Ti, = PiA„ + hyay* = 7 • 2 + 8 • 5 = 54,
Т2Д = Р2ЛД+Р2АД = 9-3 + 3,6==45
и
* Д ?
_ /54 69 84\ 1
Г — 433 45 57] 2'
3. Исследуем теперь вопрос о'том, как десять теорем матричного исчисления, выведенные в гл. 1, должны быть видоизменены
для прямоугольных матриц. Сразу видно, что они остаются справедливыми для обобщенной квадратной матрицы, обсуждавшейся в начале настоящей главы, поскольку специфическая числовая природа индексов не была нигде использована в гл. 1.
Сложение двух прямоугольных матриц, так же как и двух векторов, предполагает, что они определены в одной и той же координатной системе, т. е. разметка строк обеих матриц и разметка столбцов обеих матриц также совпадают. В соотношении
*-Н=т
Обобщения
25
разметка строк трех матриц at, {3, y должна быть одинаковой, как и разметка их столбцов. С другой стороны, для умножения матриц разметка столбцов первого сомножителя должна совпадать с разметкой строк второго; тогда (и только тогда) может быть составлено произведение матриц. Получающееся при этом произведение имеет разметку строк первого сомножителя и разметку столбцов второго.
Теорема 1. Мы можем говорить об определителе прямоугольной матрицы, если она имеет одинаковое число строк и столбцов, хотя они могут быть пронумерованы различным образом. Для матриц, „квадратных в более широком смысле", правило, по которому определитель произведения равен произведению определителей, по-прежнему справедливо.
Теоремы 2 и 3. Ассоциативный закон также имеет место для умножения прямоугольных матриц:
(atg) y = * (Py)- (2-3)
Ясно, что все умножения в правой части этого равенства могут действительно быть выполнены, если только это может быть сделано в левой части, и наоборот.
Теоремы 4, 5 и 6. Под матрицей 1 всегда будем понимать квадратную матрицу со строками и столбцами, размеченными с помощью элементов одного и того же множества. Умножение на нее всегда может быть опущено.
Матрицы, являющиеся квадратными в более широком смысле
