Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
положим Ь — 0, а = ехр^—у *’а)' Тогда в сумме (15.21) остается
лишь член с * = 0, причем он не равен нулю только при = мы получаем
и(Л(и1(а)^> = 8|1>е,,“- (15.25)
Те матрицы U(^, которые соответствуют унитарным преобразованиям вида Uj (а), имеют ту же форму, что и (15.6), с той лишь разницей, что, в отличие от ! в (15.6), j может принимать как целые, так и полуцелые значения. Но с этими матрицами коммутирует только диагональная матрица, так что М должна быть диагональной. Заметим далее, что, согласно (15.21а), ни один элемент последней строки матрицы U(^ не обращается в нуль тождественно. Приравнивая затем элементы j-й строки матриц U(;)M и MU0), как это делалось в соотношении (15.Е.1), мы заключаем, что
и {&мкк = м]]ъ% Mkk = MjP
и М является постоянной матрицей. Следовательно, представления неприводимы.
9. Можно также показать, что не существует других представлений унитарной группы, кроме U(;), если использовать тот же метод, которым мы воспользовались в п. 2 настоящей главы применительно к представлениям группы вращений. Определим прежде всего классы „унитарной группы“. Так как всякая унитарная матрица может быть диагонализована преобразованием с некоторой унитарной матрицей, все наши матрицы после этого преобразования имеют вид Uj (а), где а принимает значения от 0 до 2тс [Uj (—а) эквивалентна Uj(a)]. Все и, которые могут быть преобразованы к одному и тому же виду Uj (а), находятся в одном классе. (Предположение
о том, что следует рассматривать только элементы группы-—только унитарные матрицы с определителем 1, — не является ограничением, так как всякую унитарную матрицу можно записать в виде
Трехмерная группа чистых вращений.
201
произведения унитарной матрицы с определителем 1 и постоянной матрицы, а преобразование с помощью постоянной матрицы может быть просто опущено.)
Чтобы найти характер U(;\ достаточно вычислить след одного из элементов каждого класса. Возьмем саму Uj (а) в качестве элемента класса, к которому принадлежит Uj (а); соответствующая матрица дается выражением (15.25). Ее след равен
1
^•(°0=2е'>‘, (15.26)
ц=-У
где суммирование проводится по всем целым значениям от нижнего предела до верхнего.
Теперь очевидно, что унитарная группа не может иметь других
неприводимых представлений, кроме U(y) при j = 0, 72, 1, 3/2.......
Дело в том, что характер такого представления после умножения на весовую функцию должен быть ортогональным всем ?у(а) и, следовательно, функциям ?0 (а), (а), ^ (а) — ;0 (а). (а) — ?./з (а)...
Но функция, ортогональная 1, 2 cos у а, 2 cos а, 2cos^-|-aj, ...
в области от 0 до 2тс, обращается в нуль в соответствии с теоремой Фурье.
Представления трехмерной группы чистых вращений
10. Всякое представление U(^ унитарной группы является одновременно представлением — однозначным или двузначным — группы вращений. Матрица U(;)(u) соответствует вращению {сх^-у}, если и является унитарным преобразованием, соответствующим в гомоморфизме вращению {оф^}. Коэффициенты а и b преобразования и даются выражением (15.15) в виде
-—ia 1 —1 — '
а — е 2 cosyp-e 2 т, b = —е 2 " sin у Р • е 2 . (15.15а)
Чтобы получить элементы матрицы представления, соответствующие вращению {оф^}, выражения (15.15а) следует подставить в (15.21). Для сохранения преемственности обозначений, использованных в (15.16), преобразуем представление, получающееся после этой подстановки, с помощью диагональной матрицы MxX = 8xX(i)_2x; иначе говоря, умножим ji'-ю строку на i~2|i , а [i-й столбец — на так что коэффициент с индексами wu/ умножается нз (/)а№-|‘') = (_ iy^'t
202
Глава 15
Обозначим представление, получающееся $[ри этом из U(^, через 2)(;)( {офч}); его коэффициентами являются
(аВчП - -У Г-Пх + ss
Л> UaP1J^H- — Za'' ' и — (*' — х)! (У + (Х — *)Ы(* + [а' — fJL)! х
X
X eV“cos2-/+ll-l'’'~2x • sin2x+ii’-i1 • elw. (15.27)
Представление является (2у —(— 1)-мерным, где у может
быть либо целым, либо полуцелым. Строки и столбцы пронумерованы целыми или полуцелыми числами —у, — y+l, ..., у — 1, j. Суммирование по х в (15.27) может производиться по всем целым числам, так как бесконечности факториалов в знаменателе ограничивают область промежутком между наибольшим из чисел 0 и |i> — [i/ и наименьшим из чисел у — [i/ и У + ц. Формулы для Iх' = j и [i/ = —у особенно просты; в первом случае остается лишь член с х = 0, а во втором — только с х=у4-^:
5Da)( {aPf) )jil = yr ¦ cos^yP • sin/ -и- ±p . e^r,
(15.27a)
({#ll )-jf. = (—VJ+* V \ p. sin^i-
(15.276)
