Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
/+р- /-р- г________________________________________
V V / 14» Уи + riHJ-rit
JU 4 х!х'!(у + [х —х)!(у —(х —х')! л
Xa'aJ+»-xb'b*J-»-x's21-x-x'C+x'. (15.19а)
¦) Это значит, что j отличается от целого числа на 1/2.
2) Здесь и является унитарным преобразованием (15.17). В гл. 11 оператор PR был определен только для вещественных ортогональных R.
В данном случае, когда и унитарно, из (11.18а) вместо (11.186) следует
таким образом, выступает вместо RjL.
198
Глава 15
Коэффициент при в правой части является элементом Ц^(и)ц
iv Уи + й'и-гУУ+гУУ-!1')* чх
Здесь можно опустить пределы суммирования и суммировать по всем целым числам, так как биномиальные коэффициенты равны нулю, когда х, %' лежат вне области суммирования. Если положить J *•—%' = [i/, то [i/ должно пробегать все целочисленные значения для целых j и все полуцелые значения для полуцелых J. Выражая все функции от s и С в (15.19а) через / согласно (15.18), получаем
р f и п-.УУ/ YU + WU-MU + WU-v'y чх
ГцУ I.; — ^ ^ I) _[А), А
Xey"“'"Vy+“"W*+|l'“7|1/(e1 С). (15.20)
)р->:
(У - - X)! (У +V - X)! X! (X + [*' - Ц)! 4
X
X а1-'а1+9-'Ь'Ьн+*' (15.21)
Выражение при ji/ = j (для последних строк матриц представления) несколько проще, так как факториальный множитель исключает все члены, кроме членов с х = 0:
U0,H>= /(/таТ^ГДГ (15.21а)
Мы получили теперь коэффициенты для представлений U(^ при всех возможных значениях / = 0, l/2, 1, 3/2, • • остается лишь показать, что представления (15.21) унитарны и неприводимы и что двумерная унитарная группа не имеет других представлений, кроме найденных здесь.
7. Докажем прежде всего унитарность представления (15.21). Доказательство опирается на то обстоятельство, что полиномы / в (15.18) выбраны так, чтобы
f f*y____________i i.w+n)|ri4/-rt (Ie I2 +1 ^I2 )аУ
JvJv- Ц (У + г)!(;-г)! lS| 14 — (2;)!
ii=-y p.
(15.22)
Аналогичным образом, в силу определения (15.19) функций Ри/р.,
SlP«/,(e. С) |2 = 2-^
(y+rti(y-rti p-
i
(| a*e — bl |2 + | b*e + at |2 fJ =
W
^ЩТ(|е|2 + 1С|2)Ч (15-22а>
Трехмерная группа чистых вращений
199
Последнее выражение получается либо прямым вычислением, либо следует из свойства унитарности матриц и. Сравнение с (15.22) показывает, что сумма 2 /ц/? инвариантна относительно опера-
р-
ций Ри, так что
21 Рц/J2 = 2 I/„ I2- • (15.23)
Р- И-
Это обеспечивает унитарность представления U(^. Действительно, подстановка выражения для Рц/^ через / с помощью этого представления дает
2 2 U(&/n' 2 ШК' = 2 /и/J- (15.23а)
р. Р-" Р-
Если (2у —f- 1 )2 функций /р/Д* рассматривать как линейно независимые, из соотношений (15.23) и (15.23а) непосредственно следует
2UU)(uVllUW)(u);.|l = Vli*. (15.24)
р-
что является условием унитарности U(^.
Таким образом, унитарность U(;) установлена, коль скоро
показано, что между не существует линейного соотношения,
т. е. что из равенства
2 cv.'v.-*i+v-Xi'v-'e*J+v-"CJ-v-'= 0 (15.Е.2)
рЛ р-’
с необходимостью следует Ср.'р." 0. Равенство (15.Е.2) должно
иметь место при всех значениях переменных е и С, так как соотношения (15.23) и (15.23а) выполняются при всех комплексных е и С. Предположим, в частности, что е вещественно; тогда при
X = 2/ [i/ [i" требование обращения в нуль коэффициента при 6х
дает (после деления на
Р-'
Но это значит, что Ср/, х-гу-р.' = 0. Линейная независимость произведений также следует отсюда, поскольку (С*/?) является
переменной, пробегающей свободно всю комплексную единичную окружность. Она может быть записана в виде ехр /х, где х может принимать все вещественные значения. Но, чтобы выполнялось соотношение
2 V, *-2у-|л'^,т = 0
200
Глава 15
при всех вещественных значениях х, все с должны обращаться в нуль.
8. Неприводимость системы матриц U(;) может быть установлена точно таким же методом, каким была установлена неприводимость представлений ?)(г* группы вращений в п. 1 настоящей главы. А именно достаточно показать, что всякая матрица М, коммутирующая с U0) (и) при всех и (т. е. при всех значениях а и Ь, удовлетворяющих условию \а |2 + |^12= 1), должна быть с необходимостью постоянной матрицей. Рассмотрим прежде всего преобразования и, имеющие вид иДа) из (15.14а); иначе говоря,
