Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 74

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 176 >> Следующая


б) В гл. 3 (стр. 37) мы видели, что матрица О является комплексно ортогональной, если она не меняет простого скалярного произведения двух произвольных векторов, т. е. если ((а, &))=>= а=((0а, Об)). Эквивалентное условие может быть сформулировано с помощью одного произвольного вектора. Матрица О является комплексно ортогональной, если длина всякого отдельного произвольного вектора v остается неизменной при преобразовании с помощью О.

Рассмотрим два произвольных вектора а и Ь\ пусть v = а-\-Ь. Тогда наше новое условие комплексной ортогональности матрицы О имеет вид

Uv, v)) = ((Ov, Ov)). Используя тот факт, что ((а, Ь)) — (ф, а)), находим ((а + 6, а + 6)) = ((а, а)) + ((6, 6)) + 2((а, 6)) =

= ((Оа, 0а)) + ((06, 06))) + 2((0а, Об)).

Однако по условию имеем также, что ((а, а)) = ((Оа, Оа)) и ((ft, Ь)) = ((06, 06)). Следовательно,

((а, 6)) = ((Оа, 06)),

откуда мы заключаем, что матрица О комплексно ортогональна. Аналогичным образом можно показать, что матрица U унитарна, если для любого вектора выполняется соотношение (v, v) = (U«>, 11г>).
Трехмерная группа чистых вращений

191

Матрица, оставляющая любой вещественный вектор вещественным же и не меняющая длины этого вектора, соответствует вращению. Геометрической основой этой теоремы служит тот простой факт, что в случае, если все длины равны в первоначальной и преобразованной фигурах, углы должны быть также равны; следовательно, преобразование является просто вращением.

в) Определим теперь общий вид двумерной унитарной матрицы

с определителем —(—1, рассматривая элементы произведения uu+= 1. Из а*с -f- b*d = 0 следует, что с = — b*d/a*\ подстановка этого в ad — be — 1 дает (аа* -f- bb*) dja* = 1. Далее, поскольку аа* -\-bb* — I, находим, что d = a* и с — — b*. Общая двумерная унитарная матрица с определителем 4~1 имеет, таким образом, вид

где должно также иметь место равенство |а|24~ |?|2 = 1.

4. Рассмотрим теперь так называемые „матрицы Паули"

Всякая двумерная матрица h с нулевым следом может рассматри ваться как линейная комбинация этих матриц:

Мы ввели обозначения 2x=hn-\-h2x, 2iy=hn—hn и z=—hn=-\-hn. В частности, если х, у и z вещественны, то матрица h эрмитова.

Если мы преобразуем матрицу h с помощью произвольной унитарной матрицы и с определителем 1, то снова получим матрицу h = uhu+ с нулевым следом; поэтому h также можно записать в виде линейной комбинации матриц sx, sy, sz:

h = uhu+ = u (r, S)u+ = jt'Sjf-f-y'Sy -\-z'sz = (r', S), (15.11) / a b\f — z л: —(— ly\ fa* — b\ / — z' x'-)-iy'\

\— b* а*) \лг — ty z )\b* a ) \л:' — ly' z' )'

(15.11a)

(15.9)

(15.10)

h = + ySy + zsz = (r, S),

или в явном виде

(15.10а)
192

Глава 15

Последнее соотношение определяет х', у', z' как линейные функции величин х, у, z. Преобразование Ru, переводящее r = {xyz) в Rur = г' = (x'y'z'), можно найти из (15.11а). Оно имеет вид

х' = у (а2 + а*2 — Ь2 — Ь*2) х +

+ ~l{a2 — а*2 -\-Ь2 — Ь*1) у + (a*b* + ab)z, у' =±l(a*2 — a2-\-b2 — b*'1)x-\- (15.12)

+ ± (а2 + а*2 + Ь2-\- Ь*2) у +1 (a*b* — ab)z, z' = — (a*b + ab*) x +1 (a*b— ab*) у + (aa* — bb*) z.

Частный вид матрицы Ru в этом выражении не существен *); важно лишь то, что

x'2-\-yr'1 + z'2 = x2 + yl + z2 (15.13)

в силу равенства определителей матриц h и h. Согласно лемме „б“, отсюда следует, что преобразование Ru должно быть комплексно ортогональным. Это можно также видеть непосредственно из соотношений (15.12).

Кроме того, матрица h эрмитова, если такова же матрица h. Иными словами, вектор г' = (x'y'z') веществен, если веществен вектор r = {xyz). Это означает, что, согласно лемме „а“, Ru является вещественным, как это непосредственно следует из (5.12). Следовательно, Ru представляет некоторое вращение; всякая двумерная матрица и с определителем 1 соответствует трехмерному вращению Ru; это соответствие дается соотношениями (15.11) и (15.12).

Определитель матрицы Ru равен +1, так как при непрерывном изменении и к единичной матрице матрица Ru переходит непрерывно в трехмерную единичную матрицу. Если бы ее определитель был равен —1 в начале такого перехода, он должен был бы скачком измениться на +1. Так как это невозможно, то Ru есть чистое вращение для всех и.

Это соответствие таково, что произведение qu двух унитарных матриц q и и отвечает произведению Rq„ = Rq • Ru соответствующих вращений. Согласно соотношению (15.11), в котором вместо и подставлено q, имеем

q (г, S) q+ = (Rqr, S); (15.12а)

') Комплексные числа а и Ь в (15.12), которые определяют вращение, называются параметрами Кейли—Клейна; для них |^|2+|6|2 = 1. Ради краткости группу двумерных унитарных матриц с определителем 1 часто . будем называть просто унитарной группой.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed