Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
2. Представления 1>(4({а, р, 7}) являются, таким образом,
неприводимыми при всех 1 — 0, 1, 2............Чтобы определить их
характеры, вспомним, что следы матриц, принадлежащих одному классу, равны. Так как в этом случае класс характеризуется углом вращения ср, характер (ср) является функцией лишь угла вращения и может быть вычислен, если найти след любой матрицы, соответствующей элементу с вращением на угол ср. Примером такой матрицы служит матрица (15.6), если а = ср. Таким образом, мы получаем
+ /
у(1) (ср) = 2 е'т — 1 —|— 2 cos ср —(— 2 cos 2ср —(— ... —|— 2 cos /ср. (15.7)
т= —I
Соотношения ортогональности [если использовать весовую функцию, определенную выражением (14.27)] принимают вид
15
8ng (Е) f Х(Г) (?)* Х(1) (?)(! cos ср) dcp = 81с2g (Е) bvt.
о
Это можно показать путем простого интегрирования. Легко видеть также, что, кроме не существует других неприводимых представлений. Действительно, характеры любого такого представления, умноженные на (1—cos 0), должны быть ортогональными всем
и, следовательно, х(г+1) — Х(г)> т> е> функциям 1, 2coscp, 2cos2cp,
2 cos Зср, ... в области от ср = 0 до ср = тс; поэтому, согласно теореме Фурье, они должны обращаться в нуль.
Из сказанного следует, что последовательность 1>(0), 1>(1), ...
включает все неэквивалентные неприводимые представления трехмерной группы чистых вращений. Их число бесконечно, как и должно быть, поскольку группа вращений имеет бесконечное число классов.
Трехмерная группа чистых вращений
189
Тождественным представлением является Трехмерные
ортогональные матрицы, как представление своей собственной группы, эквивалентны представлению 1>(1), как это можно видеть непосредственно либо из их размерности, либо из равенства характеров.
Всякое представление трехмерной группы вращений является комбинацией представлений 1)(0), ?>(1), ?>(2), ... и. определяется
с точностью до преобразования подобия числом, сколько раз каждое отдельное 1)(0), 1>(1), ... встречается в нем. Но эти числа А0, i4j, А2, ... можно определить непосредственно, исходя из матриц, соответствующих подгруппе, являющейся двумерной группой вращений, т. е. вращений вокруг ochZ. Если представление ехр(//иср) двумерной группы вращений встречается ат раз, то (при т^-О) ат — Ат-\-Ат+г ... и 1>(г) содержится во всем представлении Al=al — а1+1 раз. Следует заметить, что к этому заключению можно прийти только в том случае, если заранее известно, что мы имеем дело с представлением; этот способ не может применяться к произвольной системе матриц.
Соотношение (15.6) определяет матрицы 1>(г)({а, 0, 0}) = = 1>(г)({0, 0, 7}); мы знали бы все матрицы 1>(г)({а, р, 7}), если бы знали также матрицы, соответствующие вращениям вокруг оси К. Обозначим ?)(г)({0, р, 0})x)L через d(l) (Р)**. Вращение (а, р, 7} является произведением трех вращений (а, 0, 0}, (0, р, 0} и
{0, 0, 7}. Поэтому соответствующая матрица имеет вид
®Ю({а, р, 7})=Ц(г)({а, 0. 0})D(n({0, р, 0})?>(0({0, 0, 7}).
Следовательно, общая матрица вращения может быть записана с помощью матрицы вращения вокруг оси Y в следующем виде:
(1а- Р. 1))т'т = ^ (К'т ^ (16.8)
Гомоморфизм двумерной унитарной группы на группу вращений
3. Выведем неприводимые представления трехмерной группы чистых вращений иным методом, предложенным Г. Вейлем. Мы переходим к этому методу несмотря на то, что наше обсуждение метода, использующего уравнение Лапласа, было весьма кратким, поскольку метод Вейля позволяет вывести так называемые „двузначные представления" одновременно с собственными представлениями. В последующем изложении (связанном с теорией спина) эти представления будут играть такую же важную роль, как и соб-.твенные представления.
190
Глава 15
При исследовании симметрической группы можно ограничиться определением размерностей и характеров отдельных представлений; в противоположность этому, для изучения группы вращений представляют интерес не только характеры, но и элементы всех матриц представлений. Как мы увидим ниже, это происходит в силу того, что в физические величины все тождественные частицы входят одинаковым образом. Но различные направления в пространстве физически эквивалентны только в том случае, если эквивалентны все направления, притом не только для механической задачи, но и для интересующей нас физической величины. Например, направление оказывается уже выделенным, если рассматривается определенная компонента дипольного момента.
Начнем с трех простых лемм, которые, собственно говоря, относятся к элементарной теории матриц.
а) Матрица, преобразующая каждый вещественный вектор в вещественный же вектор, сама является вещественной, т. е. все ее элементы вещественны. Если такая матрица применяется к А-му единичному вектору (A-я компонента равна 1, а остальные равны 0), то результирующий вектор образуется из &-й строки матрицы. Следовательно, эта строка должна быть вещественной. Но это рассуждение применимо ко всем А, так что все строки матрицы должны быть вещественными.
