Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
г
Фиг. 7. Полярные координаты г, 0 и <р.
У—
является решением уравнения (15.1) и который поэтому может быть выражен в виде линейной комбинации непреобразованных полиномов. Коэффициенты образуют представление, обозначаемое через &l\R). Поскольку неприводимые представления трехмерной группы вращений мы найдем иным способом, обсудим метод, связанный с уравнением Лапласа, лишь кратко.
Для решения уравнения (15.1) обычно вводят полярные координаты г, 0 и ср вместо х, у и z (см. фиг. 7); тогда полиномы /-й степени имеют вид rlYlm(Q, ср). Если подставить это выражение в уравнение (15.1) (записанное в полярных координатах), то г
186
Глава IS
выпадает и получается дифференциальное уравнение по переменным 0 и <р (включающее /). линейно независимых решений
этого уравнения ’)
?)• ?)...^1.1-1 (в. ?)• Гм(в. ?) (15.2)
известны как сферические гармоники 2) /-Й степени. Они имеют вид К,т(0, ср) = Фт(ср)вгт(0), (15.3)
где
ф (т) = -J— e'mf
в,„ (в) = (- 1)" Sin” » Р, (со» «) (*>0),
(15.3а)
0 _ (0) = f ~ ! 1 '* sinrn е —^— Р (cos 0).
т w L 2 (/ + m)! J d (cos e)m 'v >
Функции Pt(cos8) являются полиномами Лежандра, определяемыми, например, формулой Родрига
Р, (cos 9) = -^----------^cos2©—1)'. (15.36)
' V 2 /! d (cos 0)' V ' V ’
При 0 = 0 все Ylm обращаются в нуль, кроме Yl0. Это так и должно быть, потому что азимут ср не определен при 0 = 0; следовательно, в этой точке значение функции
У/т(0- <р)~е'т?РГ(cos0)
не может зависеть от ср 3).
Весьма важна зависимость (15.3) от ср. Если применить оператор Р* к rlYlm(Q, ср), где R означает вращение на угол а вокруг
оси Z, радиус и полярный угол 0 не меняется, а ср переходит
') См., например, D. Н i 1 b е г t, R. С о u г a n t, Methoden der Mathe-matlschen Physlk, Berlin, 1924, S. 420, 66, 265 (см. перевод: Д. Г иль-б е р т, Р. Курант, Методы математической физики, т. I, М. — Л., 1957).
2) Здесь и в дальнейшем фазы собственных функций выбраны так, чтобы они соответствовали условиям, принятым в книге: Е. U. Condon,
О. Н. Short ley, The Theory of Atomic Spectra, London—New York, 1953 (см. перевод с 1-го издания: Е. Кондон, Г. Шорт л и, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949).
3) Функции в1т (т > 0) без квадратной скобки в (15.3а) являются присоединенными полиномами Лежандра и часто обозначаются через Pf(cos 0).
Трехмерная группа чистых вращений
187
в ср —|— а. Поэтому, если мы обозначим вращение с углами Эйлера
а, р, 7 через (а, р, 7}, то
Am (<р+а)
P{aoo}'%m(0- ?) = /J^~-efcB(0) = *"“r*Kto(0. ср). (15.4)
Строки истолбцы (2/-f- 1)-мерного представления, принадлежащего сферическим гармоникам степени I, нумеруются вторыми индексами соответствующих сферических гармоник от — I до I. Тогда
р?)= 2 ®(/)({«. P. f!)m.m^m'(9. ?). (15.5)
m' = —I
Приравнивая коэффициенты, как обычно, получаем ®(/)((а- 0. 0})m,m = elmaZmm'.
Таким образом, в представлении 1>(/) матрицы, соответствующие вращениям вокруг оси Z, диагональны. Для вращения на угол а мы имеем матрицу представления
?>(/)({а,0,0}) =
е-ш 0 0 0
0 е-г (г-i)а _ 0 0
• О • • •
* о 0 . е'(г-1)« 0
0 0 0 еПа
(15.6)
Покажем теперь, что представления 1>(г) неприводимы, доказав, что всякая матрица, коммутирующая с матрицами 1>(г)({а, р, 7}) при всех значениях а, р и 7, с необходимостью является постоянной матрицей. Прежде всего только диагональная матрица коммутирует со всеми матрицами (15.6). Поэтому матрица, коммутирующая с 1>(г)({а, р, 7}), непременно является диагональной матрицей. Более того, ниже мы увидим, что в общем случае (т. е. за исключением определенных дискретных значений Р) в нулевой строке матрицы 1>(г)({0, р, 0}) нет нулей. Тогда только диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны (т. е. постоянная матрица), коммутирует с этими матрицами. Чтобы убедиться в этом, предположим, что диагональная матрица с элементами dk коммутирует с 1>(г)({0, р, 0}); элементами нулевой строки произведения являются
d0?>(/)<{0, Р, 0})о* = 5DW({0. Р, 0})oftdft, (15.Е.1) откуда следует, что 4a — dk.
188
Г ла»а 15
В том, что ?>(г)({0, р, 0}) в общем случае не содержит нулей в нулевой строке, можно убедиться следующим образом. Если R есть вращение на угол р вокруг оси К, то P# переводит точку (г, 0, 0) в точку (г, 0 —(— р, 0). Поэтому функции rlYlm(Q-{-р, 0) являются линейными комбинациями функций r'K/m> (0, 0), причем 'коэффициентами будут $)(г)({0, р, 0})m,m. Если мы рассмотрим точку 0 = 0, то в общем случае Кгт(р, 0) не равно нулю, тогда как Ум (0, 0) все равны нулю, кроме Кг>0(0, 0). Если бы теперь обращался в нуль коэффициент этого члена $)(г)({0, р, 0})0т, все члены в правой части равенства были бы равны нулю, тогда как левая часть была бы отлична от нуля; поэтому $)*г)({0, р, 0})0(л не может обращаться в нуль.
