Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
На поверхности сферы ср = тс в пространстве параметров направление оси вращения не определяется однозначно; вращения на угол тс вокруг противоположно направленных осей совпадают. Поэтому одно и то же вращение соответствует противоположным точкам сферической поверхности. В остальных случаях соответствие вращений точкам в пространстве параметров взаимно однозначно. Элементы определенных классов лежат на концентрических сферах.
Для этой системы параметров можно также легко сформулировать инвариантный интеграл Гурвица. Так как точки на сферической поверхности радиуса ср соответствуют вращениям на один и тот же угол, но вокруг осей, направленных по-разному, и так как все оси вращения в пространстве эквивалентны, g({<fvn, cpu2i, 91/31}) может зависеть только от угла вращения <р, но не от направления вектора ®.j. Таким образом, достаточно определить g ({<р, 0, 0}). С этой целью [см. формулу (10.9)] сначала вычислим параметры произведения {<р, 0, 0} • {еи е2, е3} для очень малых ei, а затем устремим ei к нулю. Вращение {еи е2, ег} задается выражением
справедливым с точностью до первой степени величин ei [см. соотношение (14. 22)]. Для {<р, 0, 0} {е„ е2, е3} — ет {еи е2, е3} получим
(1 е3. —е2\
— е3 cos <р + е2 sin <р cos <р — ех sin <р в\ cos <р + sin <р I.
ег sin <р + е2 cos <р —sin «р — ех cos <р —ех sin <р + cos <р/
') При обсуждении фиг. 1 в гл. 10 расстояние от начала было определено как ср/л, а не как <р. Левая часть фиг. 1 должна рассматриваться в настоящем обсуждении увеличенной в отношении %: 1.
Группы вращений
183
Отсюда вычислим угол вращения <р' с помощью соотношения (14.23):
1 + 2 cos <р' = 1 +2 cos <р — 2^1 sin <р, <р' = <p-j-^[. (14.23а)
Из (14.22) мы получим направление оси вращения:
«п: w2i: «31 =
= (2г, cos <р + 2 sin <р): (г3 sin <р + е2 (1 + cos <р)): (е3 (1 + cos <р) — е2 sin <р).
(14.22а)
[2 ,2 /2
В сочетании с условием нормировки uu + t»21 + и13 = 1 это дает (с учетом лишь членов первого порядка по е)
1,
е2 (1 + cos <р) е3 2 sin <р ' 2 ’
«31 =
е3 (1 + cos у) е2
2 sin <р 2
Таким образом, параметрами {<р, 0, е2, е3} являются
, . .. Г е2 (1 + cos <р) , е3 1 „Г е» (1 + cos <р) е2 ~\
’ + *" Ч—2li^— + TJ' Ч—2^------------------------Ту
При е\ — е2 = е3 = 0 получаем в точности параметры вращения tfl т. е.
<р, 0, 0. При е, — е2 = е3 = 0 интересующий нас якобиан равен
d(Pi ({?¦ 0. ОН*. е2> *з».....р3 ({<р, 0, 0} {g|, е2, е3})) _
д (<г„ е2, е3)
1 0 0
0 ,±+?212. -±
2 sin <р 2
2. ±±_cos^
2 ^ 2 sin <р
0
<р2 (1 4- cos <р)2 4- sin2 <р_________________________92
4 sin2 <р 2(1 — cos <р) ‘
Таким образом, для весовой функции g [формула (10.9)] получаем g ({?. 0, 0» = g ({»и9, = 2g°(1-cos?).. (14.26)
Вычисление инвариантного интеграла функции У (./?) = /(<р), имеющей одно и то же значение для всех элементов класса (как, например, характер представления), также довольно просто. Интегрирование в пространстве параметров может быть выполнено тогда сначала по сферической поверхности (<р = const), т. е. по всем элементам одного класса, что дает 4 гор2, а затем по <р, т. е. по всем различным классам. Таким образом, для интеграла Гурвица получаем
Я
go J J (?) 8it (1 — cos <р) d(f. (14.27)
9
184
Глава 14
Для другой параметризации часто используют углы Эйлера, как это показано на фиг. 2 (стр. 110). Вращение с углами Эйлера
а, р, х является произведением трех вращений: вокруг оси Z на угол у, вокруг оси У на угол р и снова вокруг оси Z на угол а. В последующих главах {а, р, будет всегда обозначать вращение с углами Эйлера а, р и j. В этом представлении а и^ в общем случае изменяются от 0 до 2тс, а р — от 0 до тс. Однако если Р = 0, то а и ¦{ не определяются однозначно; все вращения {а, 0, 7} являются вращениями на угол а-|~^ вокруг оси Z.
Глава 15
ТРЕХМЕРНАЯ ГРУППА ЧИСТЫХ ВРАЩЕНИЙ
Сферические гармоники
1. Неприводимые представления трехмерной группы вращений, так же как и представления двумерной группы, можно получить с помощью дифференциального уравнения Лапласа
&f(x, у, z) . &f(x, у, z) . &f(x, у, г) _ „ . - п
дх1 ду2 дг2 — ’ ( 1 ^
если рассматривать однородные полиномы /-й степени, удовлетворяющие этому уравнению. Ортогональное преобразование R такого полинома приводит к другому полиному /-й степени, который также
