Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
7. Обратимся теперь к исследованию трехмерной группы чистых вращений. Собственные значения матрицы а, вещественной ортогональной трехмерной матрицы с определителем 1, должны иметь вид 1, ехр (— /ср), ехр (—(— /ср), так как все они имеют модуль 1, а комплексные собственные значения появляются сопряженными парами. Фаза ср комплексного собственного значения называется углом вращения; собственный вектор1) «м с собственным значе-
нием 1 называется осью вращения. Его компоненты г;и, v2l, w проще всего определить : аг, найти ф.1
31
' a3i) «31 —
' аз г) % =
= 0,
(14.21)
если начать с a©.i = l©.i и, умножив на а-1 = аГ, найти ®.1 = аГгм. Это дает (а — а7)гм = 0 или, если
записать более подробно,
(«и —«и) «и +(«13-
(а21 — а1г)«11 +(а23"
(«31 а1з) «11 Ч" (а32 а2з) «21 откуда
«п • «21 • «31= (а23 азг) • (a3i а1з) • (ai2 a2i)- (14.22)
Угол вращения ср проще всего определить, приравняв сумму собственных значений следу матрицы,
1 —е ^ -j- е^ = 1 —2 cos ср = ах j —а22 ~I- ^33» (14.23)
где ср принимает значения между 0 и тс.
Собственные векторы v.2 и v. 3, которые соответствуют ехр(—/ср) и ехр(-)-/ср), комплексно сопряжены друг с другом, ©?2 = ®-з- С другой стороны, ©.j должен быть взят вещественным: (v.i, «М) = ((«М, «м)) = 1.
Матрица v, столбцами которой являются собственные векторы v.i. ®-2, “о.з матрицы а, диагонализует эту последнюю. Поэтому v+av является диагональной матрицей с собственными значениями 1, ехр (— /ср), ехр (-f- /ср) в качестве диагональных элементов. Запишем теперь V = vv0, где 2)
'1 0 0'
vn =
0
1
t
V2
V2
1
/2
(14.24)
’) Хотя o.j является, конечно, вектором, он будет также играть в нашем обсуждении роль столбца элементов матрицы. Поэтому мы обозначаем его в соответствии с нашими обозначениями элементов матриц.
2) Здесь v0 выбрано так, что а представляет вращения вокруг оси X
после преобразования с помощью v v0. Ясно, что возможен другой выбор v0,
который приводит а к виду, представляющему, например, вращение во-
круг оси Y.
Группы вращений
181
Столбцами матрицы V являются векторы «м, (f—l/Y 2) (©.2—©*2) так что V вещественна. Кроме того, матрица V, будучи произведением унитарных матриц v и v0, также унитарна, так что она является вещественной ортогональной матрицей, и, следовательно, элементом группы вращения. Если мы
теперь преобразуем уравнение v+av = d с помощью v0, то получим
1 О О
О coscp sin ср *= в . (14.26)
О — sin ср cos ср
V+aV = vj v+a wo = vjdvo =
Можно принять, что в этом уравнении V представляет частое вращение, так как мы могли бы умножить ее на —1, если бы ее определитель равнялся —1, и (14.25) осталось бы без изменения. Из (14.25) видно, что все вращения с одним и тем же углом вращения ср принадлежат одному и тому же классу, поскольку они все могут быть преобразованы в е?. С другой стороны, матрицы, угол вращения которых отличен от ср, не могут принадлежать одному и тому же классу, так как они имеют различные собственные значения и поэтому не могут быть преобразованы в е .
Геометрическую интерпретацию этого изложения дает хорошо известная теорема, согласно которой всякое ортогональное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено как вращение
Ф и г. 6. Геометрическая интер-J)' претация соотношения (14.25).
вокруг соответствующим образом выбранной оси ®,j. (Так как 8®,! = ®.^ ось вращения не меняется при вращении.) Если преобразование переводит дугу XZ на фиг. 6 в дугу X'Z', то ось вращения должна лежать на перпендикулярах, восстановленных в серединах дуг ZZ' и XX' и, следовательно, в точке их пересечения С. Действительно, вращение вокруг С преобразует Z в Z' и X в Х'\ из равенства двух треугольников ZCX и Z С'Х' (три стороны их равны) следует, что углы ZCX и Z'C'X' равны, а поэтому углы ZCZ' и ХСХ' также равны и равны углу вращения <р. Вращение на угол <р может быть преобразовано в другое вращение с тем же углом вращения, если ось первого вращения при-
182
Глава 14
вести в совпадение с осью второго вращения путем вращения V, выполнить затем вращЛия на угол ср и, наконец, вернуть ось в ее первоначальное положение с помощью V-1.
Для однозначной характеристики вращений оси вращения должно быть придано определенное направление, которое задает также знак вектора v.\. Вращение будет происходить по часовой стрелке, если смотреть вдоль положительного направления оси.
Параметризация (фиг. 1, стр. 110) трехмерной группы чистых вращений, которая обсуждалась в гл. 10, основана на этих характеристиках. Вращение на угол ср вокруг оси v.\ соответствует точке на расстоянии ср от начала в направлении v.\ ')• Угол вращения всегда однозначно определяется вращением. Для вращения с ср = 0 (которое фактически вовсе не является вращением) направление оси вращения не определено; тем не менее соответствующая точка в пространстве параметров определяется однозначно: она является центром сферы.
