Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
+ • • • + ял+1®я+1 = 0, (1.32)
из которого следует линейная зависимость, эквивалентно п линейным однородным уравнениям для компонент этих векторов:
M®i)i+ ••• +anWi + an+i(®n+i)i = °.
.......................................... (1.32а)
al(®l)n+ ••• +an(®n)n+an+l(®n+l)n = 0.
Если коэффициенты а1,а2.........an>an+i в этих уравнениях рас-
сматриваются как неизвестные, то из того обстоятельства, что п линейных однородных уравнений с /г —(— 1 неизвестными всегда имеют нетривиальное решение, сразу следует, что соотношение (1.32) всегда выполняется. Таким образом, л —(— 1 я-мерных векторов всегда линейно зависимы.
Непосредственным следствием вышеприведенной теоремы является утверждение, что любые п линейно независимых п-мер-
Векторы и матрицы
21
них векторов образуют полную систему векторов; иначе говоря, произвольный я-мерный вектор W может быть выражен в виде их линейной комбинации. В самом деле, теорема утверждает, что между п векторами и произвольным вектором имеет место некоторое соотношение
Cj©!-1- ... +ая©я+Л» = 0.
Кроме того, если vv v2........vn линейно независимы, коэффи-
циент b не может быть равен нулю. Таким образом, всякий вектор W может быть записан в виде линейной комбинации векторов, и, следовательно, последние образуют полную систему векторов.
Строка или столбец я-мерной матрицы могут рассматриваться как вектор. Например, компонентами вектора х.к, образующего
fe-й столбец, являются а1Л, a2k....ank, а компонентами вектора,
образующего i-ю строку, будут а(1,а(2........ai„• Нетривиальное
линейное соотношение между векторами at.j..........at.n, образую-
щими столбцы,
«1*1+ ••• +«„*•« = 0
дается просто ненулевым решением системы линейных однородных уравнений для ах,а^.......ап:
а1а11+ ••• + аяа1п = 0'
а1а„1+ ••• +вя«яя*=0-
Обращение в нуль определителя |ай| является необходимым и достаточным условием существования такого решения. Поэтому, если этот определитель не обращается в нуль (|а«|^0), векторы at.,, ..., at.n линейно независимы и образуют полную систему
векторов. Наоборот, если векторы vx......vn линейно независимы,
матрица, образуемая при использовании их в качестве столбцов, имеет отличный от нуля определитель. Разумеется, это рассуждение применимо в равной степени к векторам, образующим строки матрицы.
Глава 2
ОБОБЩЕНИЯ
1. Обобщим теперь результаты предыдущей главы. Первое обобщение совершенно формально; второе же имеет более существенную природу. Для обозначения компонент векторов и элементов матриц мы ставили индексы соответствующих координатных осей. До сих пор координатные оси обозначались номерам» 1, 2,
3......п. В дальнейшем мы будем обозначать координатные оси
по элементам произвольного множества. Если О есть некоторое
множество объектов g, h, i......... то вектор v в пространстве
этого множества О является набором чисел vg, vh, ...........Разу-
меется, можно приравнивать (складывать и т. д.) только векторы, определенные в одном и том же пространстве, так как только в этом случае компоненты соответствуют элементам одного и того же множества.
Аналогичная система обозначений будет использована для матриц. Чтобы матрица а могла быть примененной к вектору v с компонентами vg, vh, vit ..., столбцы матрицы а должны быть размечены (пронумерованы) элементами того же множества О, с помощью которого размечены компоненты вектора V. В простейшем случае строки также именуются элементами g, h, I,.. . этого множества, и а преобразует вектор v в пространстве О в вектор av в том же пространстве. Таким образом,
= (2.1)
1 1?0 1
где j—некоторый элемент множества G, и / пробегает все элементы этого множества.
Например, координатные оси могут быть обозначены тремя буквами х, у, г. Тогда величина v с компонентами vx = 1, vy — 0, vz = — 2 является вектором и
х у z
1 2 3U
О 5 — 1 у
-4—2 4) г
Обобщения
23
есть матрица. (Справа и сверху указаны символы строк и столбцов.) В этом примере axx~l, аху — 2, axz = 3. Соотношение (2.1) означает, что ^-компонента вектора v' = av равна
VX — axxvx + axyvy + axzvz = 1 • 1 + 2-0 + 3 ( 2) = 5.
Вышеприведенное простое обобщение является чисто формальным; оно вводит лишь другую систему обозначения координатных осей и компонент векторов и матриц. Две матрицы, действующие на векторы того же пространства, могут быть перемножены, как и матрицы в предыдущей главе. Выражение
Y = P<s (2.2)
эквивалентно выражению
Т/а = 2 $]Laik>
1?0
