Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
175
ственно проверить, что матрица, образованная из этих двух векторов, преобразует диагональную матрицу к виду (14.2а):
cos sin '
sin-|- cos-|- J\p —*J\—sin"5" cos\j
(14.5a)
Выражение для несобственного вращения (14.2а) в виде произведения (14.5а) иллюстрирует то обстоятельство, что всякое несобственное вращение (14.2а) может рассматриваться как чистое отражение в прямой линии; соотношение (14.5а) означает, что (14.2а) получается путем, во-первых, вращения на угол ср/2, затем отражения относительно оси х, и наконец, вращения назад на угол — ср/2. С другой стороны, то же отражение могло бы быть произведено относительно линии, составляющей угол ср/2 с осью х.
Двумерная группа вращений и отражений является смешанной непрерывной группой. Наиболее естественная параметризация этой группы использует непрерывный параметр ср и дискретный параметр d. Последний представляет собой определитель, т. е. равен + 1. Тогда мы имеем
coscp sin (
{ср, d} = { ‘ . , (14.6)
1 ' \—sin ср d coscp/
{<P. d} • {?'< d') = {^-bY. dd').
Эта группа не является более абелевой; матрицы (14.2а) не коммутируют, а также не имеют общих собственных векторов.
Разбиение группы на классы также меняется: (14.5а) показывает, что все элементы (14.2а) принадлежат одному классу, так как они все могут быть преобразованы в {0, —1}. Однако элементы (14.2) уже не образуют класса каждый в отдельности; например,
(1 0\/ coscp sin ср \ /1 0\ /coscp —sin ср\
О —1/\—sin ср coscp/ \0 —1/ \sin ср cos 9/’ ^4.7)
и, следовательно, {ср, 1} и {—ср, 1} принадлежат одному и тому же классу. В этом классе не может быть других элементов, так как все остальные имеют другие собственные значения и не могут быть преобразованы в один из этих двух.
4. В соответствии с общим рассмотрением интеграла Гурвица р гл. 10 существует такой инвариантный интеграл по области
176
Глава 14
двумерной группы чистых вращений, что соотношение
К
f = fJ(R {?})?({?))d<f (14.8)
выполняется для всех элементов группы R при условии, что g(T) определяется (10.9):
где р(7) — параметр элемента Т.
В случае двумерной группы вращений непосредственная проверка показывает, что одинаковым областям должны быть приписаны одинаковые веса. Пусть t будет параметром элемента Г; тогда, согласно (14.4), мы имеем параметр /?(7'{а}) = /-(-а. После дифференцирования по а это дает 1, так что
Все неприводимые представления двумерной группы чистых вращений одномерны. Действительно, это справедливо для всех абелевых групп; непрерывные абелевы группы являются лишь частным случаем. Рассмотрим многомерное, скажем двумерное, представление. Мы можем привести некоторую матрицу этого представления к диагональному виду. Если два диагональных элемента не были бы равными, матрица имела бы вид
так что все матрицы, коммутирующие с ней — и, следовательно, все матрицы этого представления — имели бы только нули на пересечениях строк и столбцов с различными диагональными элементами матрицы (14.ЕЛ); тогда представление было бы приводимым. Если бы это не имело места, то все собственные значения матрицы (14.Е.1) были бы равными и матрица была бы постоянной. Тогда она имела бы диагональный вид даже до преобразования. Но это верно для любой матрицы этого представления, так что они все были бы кратными единичной матрице, и представление бнло 0ы, следоратедьно, приводимым.
(14.9)
(14.10)
ТС
к
(14.11)
(14.ЕЛ)
Группы вращений
177
Из (14.4) следует, что если элемент {ср} соответствует матрице (/(ср)) в некотором представлении, то
Так как матрица для ср = — тс должна совпадать с матрицей для ср = -|- тс, мы должны иметь exp (ikw) = exp (— /&тс); следовательно, ехр (2ikit) = 1. Отсюда следует, что k является вещественным целым числом. Двумерная группа чистых вращений имеет бесконечно много неприводимых представлений, и все они одномерны. Матрица т-го представления, соответствующая элементу (14.2) с углом вращения ср, равна
Для каждого положительного и отрицательного целого числа, т— ... —4, —3, —2, —1, 0, —1, —2, —3, ..., существует одно определенное неприводимое представление двумерной группы чистых вращений.
Соотношения ортогональности
являются как раз соотношениями ортогональности рядов Фурье. Полнота набора коэффициентов представления является также полнотой системы функций, по которой производятся разложения Фурье.
5. Найдем теперь неприводимые представления двумерной группы вращений и отражений, используя метод, который покажется весьма сложным для этой цели. Однако тот же самый метод будет в дальнейшем применен к трехмерной группе, так что полезно рассмотреть его на простом примере; кроме того, мы имеем здесь другой пример соотношений между представлением и соответствующими функциями.
