Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Паули мы придем к заключению, что остальные представления не играют никакой роли в теории атомных спектров. Они могут быть получены тем же способом, каким мы получили рассмотренные представления, за тем исключением, что следует рассматривать функции п переменных, могущие принимать более чем те два значения, которые мы приняли в нашем рассмотрении.
(где Oj < 02 < ... < ak_l и sat0l... „ является суммой всех тех переменных s, индексы которых не встречаются среди чисел а1э а2......ak-\) линейно независимы. Только в том случае, если это
линейных комбинаций произведений sa,sa, • • • sak ортогональны всем Еа1а3... ak_l- Функции Fata,... ak_, являются линейными комбинациями произведений sa,sa, . .. sa :
ПРИЛОЖЕНИЕ
Лемма о симметрической группе
Здесь будет показано, что при все ^ л jj функций
FaiOi... ak_ J = sa,s0l ¦ ¦ • sak_1sa,a2... ak_l (13.5)
имеет место, можно заключить, что не более чем
Оинаций чисел 1, 2,..., п. Если между F а,а,... а^_х имеется
170
Глава 13
линейное соотношение вида
2 са, ... ak_Fai... ak_l = 23 са, ... ak_ma, ... *,...**«*,• ¦¦sbk = О
(13.18)
[^суммирование опять проводится по всем комбинациям
чисел а и по всем комбинациям чисел ij, то отсюда следует, что для всех чисел Хь,... ьк, определенных для bY <С Ь2<С ... <СЬЛ, 2 са, ... ak_{ma, ... ak_y Ьх ... t>kxbt ... (13.19)
Это можно показать, умножая скалярное произведение (13.18) и sdsdsda ... sd на xdt d и складывая получающиеся уравнения
при всех возможных комбинациях чисел dt.
Выберем теперь числа л:ь,ь]...ьк так, чтобы
2 mat • •• яА_,; bkXb' bk =
1 при 04 = 1, а2 = 2.......ak_l=:k— 1; ^ 2
О в остальных случаях.
Тогда соотношение (13.19) эквивалентно равенству
Cl2...A-l = 0. (13.21)
То же самое соотношение (13.21) должно выполняться также для всех остальных c0l... ak_ , поскольку они все входят одинаковым образом; иначе говоря, аналогичным образом можно так выбрать величины xb,...bk, чтобы показать, что каждое с обращается в нуль (следует заменить лишь в последней части нашего рассуждения
1, 2......k—1 на ocj, а2..........a*-i). Тем самым остается лишь
показать, что выбор, приводящий к (13.20), действительно может быть сделан, после чего доказательство линейной независимости функций Faia,...ak j будет завершено.
Величины xbl,"bk находятся в нашем полном распоряжении. Выберем равными друг другу все те xbi...bk, среди индексов blt Ь2, .... bk которых имеется в точности х чисел 1, 2, ..., k—1 (где —1). Обозначим эти хь,... ьк через xz. Рассмотрим
теперь те из соотношений (13.20), в которых имеется о чисел 1,
2......k — 1 среди av а2.......ak_v Поскольку maia,... ak_i; ьь,... ьк
отлично от нуля только в том случае, если все а( встречаются среди bt, только те члены будут давать вклад в сумму в (13.20),
в которых имеется о чисел 1, 2............k — 1 и k — 1 — о чисел
к, k -|- 1, ..., п среди Ь(. Единственный индекс Ь, значение кото*
Симметрическая группа
171
рого остается еще неопределенным, может быть либо одним
из чисел 1, 2.......k—\, либо одним из чисел k, k-\-\............га.
В первом случае он может принимать k — 1 — о значений, в последнем— га— k-\-\—(k — 1 — о) = га — 2k-\- 2+о значений, поскольку он не может быть равным одному из чисел ах, а2.........<^k-v
Тогда (13.20) принимает вид
Но эти уравнения могут быть удовлетворены при n—2k-\- 2 > О
так, чтобы выполнялось соотношение (13.20). Следовательно, соотношение (13.21) выполняется. Аналогично должны обращаться в нуль все остальные с в (13.18); таким образом, линейная независимость функций F установлена.
(k— 1 —о) -*:0+1 -(-(га—2k —1— 2 —(— о) jc0 —
1 при о = k — 1
О при о = 0, 1...........k—2.
(13.22)
Это дает
xk-\ n — k+1
и
k — 1 —о
при о = 0, 1................k — 2.
п — 2А -f- 2 -f- о
или & < у га +1; следовательно, тем более они будут удовлетворяться при k^Yn- Значит, величины хь^... могут быть выбраны
Глава 14
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
1. Непрерывная группа, образованная из совокупности всех вещественных ортогональных и-мерных матриц, называется п-мер-ной группой вращений. Группа чистых вращений включает ортогональные матрицы только с определителем —]—1, тогда кач группа вращений и отражений включает также матрицы с определителем — 1; таким образом, последняя содержит все вещественные ортогональные матрицы. Групповое умножение является снова матричным умножением, а тождественным элементом является единичная матрица.
В гл. 3 мы видели, что всякая вещественная ортогональная матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью унитарной матрицы. Тогда абсолютные величины всех диагональных элементов равны 1; некоторые диагональные элементы равны —1, другие равны —1, а остальные состоят из сопряженных пар комплексных чисел e‘f и е~'ч. Собственные векторы, соответствующие собственным значениям -)-1 или —1, могут быть записаны в вещественном виде, а пары собственных векторов, соответствующие двум комплексно сопряженным собственным значениям, — в виде комплексно сопряженных векторов. Так как эти собственные векторы, как и всякие собственные векторы, ортогональны в эрмитовом смысле, они ортогональны сами себе в комплексном ортогональном смысле; иначе говоря, сумма квадратов их компонент равна нулю.
