Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
все различны, можно убедиться с помощью (13.13); матрицы для перестановок R' величин Sj, s2......"sn-i не эквивалентны во всех этих
представлениях. Поэтому и сами представления должны быть неэквивалентными.
6. Нам еще остается вычислить характер (R) неприводимого
представления D^(R). Так как Д(А)(/?) может быть преобразовано таким образом, что
(l -(- л:Х‘)(1 + хх*) ... (l —t— ^Хр). (Xj-(-Х2-(-...-(-Хр = л). (13.14)
выражении или коэффициенту при xk в произведении (13.4) на х; характер %№ (R) дается разностью этих двух коэффициентов, т. е. коэффициентом при xk в выражении
(1 -*)(1 +/¦)(! + ***) (13.15)
где Xj, \.....Хр — длины циклов перестановки R.
Для присоединенных представлений D(A)(/?) применимо то же самое выражение с тем же или с противоположным знаком в зависимости от того, является ли перестановка R четной или нечетной, т. е. в зависимости от того, четно или нечетно число Xj -— 1 —(— —(— Х2—1 -(- ... -(-Хр—1 = я — р. Характер j}k){R) равен коэффициенту при xk в выражении
(_1)«-р (1 _ *)(i + /¦)(! + ^2) • • • (1 = 2 xkX(k) (R).
k
достаточным условием неприводимости D(A)(/?), которая тем самым установлена. (1 (1
В том, что представления D(0\ D(1).......D'2 '(илиВ'2 " 2')
установлена.
(13.8)
то x(k) (R) равно разности характеров матриц и :)(/?).
Согласно (13.4), характер матрицы (R) равен коэффициенту при xk многочлена
Характер матрицы 11 (R) равен коэффициенту при лг*—1 в этом
(13.15а)
168
Глава 13
Представление D(0^(/?) является тождественным, a D(0)(/?) — антисимметричным.
Как уже упоминалось выше, предшествующее рассмотрение дает не все неприводимые представления симметрической группы, а лишь те, которые играют роль в атомной спектроскопии. В математической теории неприводимых представлений (основоположниками этой теории были А. Юнг и Г. Фробениус) отдельные представления соответствуют не определенным индексам k, а различным разбиениям числа п на положительные целые слагаемые, полное число которых равно числу всех неприводимых представлений. Представления соответствуют разделению п на два
слагаемых (п — k)-\-k ^в силу- ограничения п — k~^ k имеем
k ^ y п); представления (R) соответствуют разбиению п
на суммы единиц и двоек, 2-\-2-\- ... 2111 = л,
где имеется л — 2k единиц и k двоек.
То обстоятельство, что собственные функции, осуществляющиеся в природе, преобразуются, согласно этим представлениям, при перестановках координат электронов, связано с тем фактом, что спин электрона во внешнем магнитном поле может иметь лишь две различные ориентации. Если возможны три ориентации (как, например, в случае ядра азота, спин которого равен единице), появляются также представления, соответствующие разбиению числа л на три слагаемых, а также их присоединенные представления, соответствующие разбиению л на суммы чисел 1,
2 и 3. Наоборот, если возможно только одно квантованное направление (например, для ядра гелия, спин которого равен нулю), то в физических задачах могут встречаться только симметричные представления, соответствующие разбиению л на одно слагаемое л = л, а также антисимметричные представления, соответствующие разбиению этого числа на одни единицы, л = 1 -f- 1 -f- ... + 1.
Сравним результаты этой главы с неприводимыми представлениями (7.Е.1), (9.Е.1) и (9.Е.З) симметрической группы третьей степени, данными на стр. 100 и 101. Представление одной лишь матрицей (1) является тождественным представлением D^(jR) (л = 3 + 0); его присоединенное представление есть антисимметричное представление D(0) (R) (л = 1 -f-1 -f-1). Третьим представлением является DO) (/?) (л = 2-{-1); его присоединенное представление есть DO) (R) (л = 2-{-1), причем последние два представления эквивалентны.
Для симметрической группы четвертой степени имеем представления:
Dl°) (R) (л = 4) и D<°> (R) (л = 1+1-} 1+1), размерности ^ ^ j — ^_j j = 1,
DW (R) (л = 3+1) и DO) (R) (л = 2 + 1 + 1), размерности ^ j j —(о ) = 3»
D'2) (R) (п = 2+2), эквивалентное D'2) (R) (л = 2+ 2),
размерности ^ ^ ) — ( 1 ) =
Симметрическая группа
169
Всего имеется пять неэквивалентных неприводимых представлений, соответствующих пяти классам группы. Очевидно, что сумма квадратов их размерностей равна порядку группы: 12 +12 + 32 + 32+22 = 24 = 4! = Л. Для этой группы, как и для симметрической группы третьей степени, рассматриваемые представления включают все неприводимые представления.
При п = 5 мы получим таким способом шесть неприводимых представлений [(D'2) (R) не эквивалентно D'2) (Л))], но так как группа имеет семь классов, то это не все неприводимые представления. При ббльших п все меньшая часть полного числа всех неприводимых представлений оказывается среди (R) и (R). Тем не менее в силу принципа
