Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
F0la,... ak_l = SatSai ••• (5а,а, ... + sn)-
В gfo функция sn входит в нулевой степени. Поэтому она ортогональна s0isa, ... sak_isn и должна быть также ортогональна Sa^a, ••• sak_lsaia,... Она имеет степень k. Но это является
как раз определением функций от Sj, s2..........sn-v принадлежа-
щих представлению D(A) (это представление также неприводимо по предположению). Поэтому функции gQx должны принадлежать
представлению группы операторов РЛ,, и для %= 1, 2..........I" = 1'
имеем
РЛ-*о, = х2'Л(*)(я'к*(г 03.116)
Соотношения (13.11а) и (13.116) позволяют найти матрицы представления D(A)(^), по крайней мере, для тех R = R', которые оставляют sn неизменной. Искомые выражения упрощаются, если нумерация строк и столбцов матриц соответствует нумерации функций g из (13.9а) и (13.96):
lk — 1
Ра = 2 D{k) (R)04 0х gQX + 2 D(k) (Д)1Х; 0x iu, (13.12a)
^k — \
P^lx = SOw(/?)ox: lx^ + SOW(/?)U; lxfe + ftu)- <13-126)
Тогда D(A) является суперматрицей
->«¦<«>=(d!(r) g.
Dio} (R)
Симметрическая группа
165
При тех R = R', которые оставляют sn неизменной, сравнение (13.12а) с (13.116) в силу линейной независимости всех g дает
D(k)(R\;0 ^'DW(R\X, D{k)(R\;(h^0. (13.13а)
Так как РЛ' не затрагивает sn, то для сравнения (13.11а) с (13.126) первое из этих выражений можно подставить в выражение для PR-glx, получающееся из (13.96):
_ _ /ji_1 _
Так как все g'^s линейно независимы и ортогональны всем g0x,
h'w и Рд'Ли (содержащим sn в нулевой степени), сравнение последнего соотношения с (13.126) дает
dW(^,)ix!1,= ,d(*_1)(^,L (13Л36)
Поэтому для тех R', которые не затрагивают sn,
( } \ в(я') 'О1*'» (/?')/*
где В (/?') пока что неизвестно. Однако матрицы D(A) унитарны, поскольку g ортогональны, так что В(/?') должно обращаться в нуль. Отсюда вытекает, что представление D(^(/?), рассматриваемое как представление симметрической группы (п — 1)-й степени, распадается на две различные неприводимые компоненты (кроме случая, когда — /*_i). Матрицы, соответствующие перестановкам R', оставляющим sn без изменения, имеют вид
¦А,))- (1з-1з)
Теперь мы можем рассмотреть и случай lk = lk-ь Это может иметь место только при k = п. Это следует проще всего из тождества (13.10), согласно которому
но это выражение может быть равно нулю только при k-\-(k—\) = — п—1. Исключительность этого случая можно было бы предвидеть, так как определено только при — 1), а это
166
Глава 13
неравенство не выполняется при k = ^n. Однако неприводимость
матриц в этом случае следует сразу; вместо (13.13) при этом можно написать равенство (R') = (R). Таким образом,
D<H
(R) неприводимо в силу того обстоятельства, что матрицы, соответствующие подгруппе, оставляющей sn неизменной, уже являются неприводимыми.
В общем случае рассмотрим матрицу
Mi МЛ „ „ ,ч
м3 м4)’ (1 л
коммутирующую со всеми D(A)(^)- Пусть подразделение строк и столбцов в (13.14) будет тем же, что и в (13.13). В частности, (13.14) должна также коммутировать с из (13.13):
(Ъ(к)(&) 0 \/MjM2\ /Mj МД (Ъ(к)(&) О \
Поэтому для всех матриц неприводимых представлений )
или 'd(A)(?') симметрической группы (п— 1)-й степени, изоморфной перестановкам величин Sj............sn-i> должны выполняться
следующие соотношения:
'DU) (/?') Mj = Mj Ъ(А) (/?').
,d(*)(/?')m2 = m2,d1*-1)(/?').
Ъ(А-1)(/?')Мз = М3,0(А)(Ю.
'd(A_1) (r') m4 = M4 'd(A_1) (/?').
Но отсюда, согласно теоремам 2 и 3 гл. 9, следует, что М2 и М3 должны быть нулевыми матрицами, а М, и М4—кратными единичной матрице. Тогда, в силу одной лишь коммутативности с (13.13), (13.14) должна иметь вид
тЛ 0 \
n J. (13.14а)
О m41)
Рассмотрим далее перестановку R, которая не оставляет величину sn неизменной, а преобразует ее в другую st, встречающуюся в первой степени в какой-либо функции Л0х. В линейном представлении функций должна быть использована по крайней мере
Симметрическая группа
167
одна из функций gu. Поэтому, если мы запишем D(A)(/?) в виде
(13.146)
где С наверняка не является нулевой матрицей. Тогда (13.14а) может коммутировать с (13.146) только в том случае, если mx = т4, так что (13.14а) является постоянной матрицей. Но это является