Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
(п—1)-й степени, /D<0)(/?/).....^<!у(п—1)J непри-
водимы и различны, и примем, что их размерности *) равны
'Ит'Мп,1)-
Главный момент доказательства состоит в том, что DW/, рас сматриваемое только для тех R', которые не затрагивают sn, является представлением симметрической группы (п—1)-й степени и что его неприводимыми частями являются и следует неприводимость и различие представлений D1
5. Функции ^.........glk, будучи линейными относительно
переменных sn, могут быть представлены в виде сумм
ё. = ё',5п + К
ч(*)
и 'D(A). Отсюда .(*)
(13.9)
*) Штрихованные переменные всегда относятся к симметрической группе (п — 1)-й степени или к функциям п — 1 переменных $1> s2, . . j.
162
Глава 13
таким образом, что sn встречается в нулевой степени как в gx, так и в Л'; тогда g'x и А' могут рассматриваться как функции только переменных s2, sn_1\ g'x имеет (A—1)-ю степень,
а Л' — k-ю степень.
' Может оказаться возможным образовать линейные комбинации функций gx, не содержащих членов, пропорциональных sn. Если имеются I" таких линейно независимых линейных комбинаций, сни могут быть ортогонализованы методом Шмидта; обозначим их через g0x:
*о, = *?, (при х= 1,2............I"). (13.9а)
Все штрихованные функции не будут зависеть от sn. Естественно, что I" могло бы оказаться нулем, но в дальнейшем выяснится, что в общем случае это не так. Остальные gx могут быть затем сделаны ортогональными gQx и между собой, так что
8и = ?и*п + К (при *= 1,2.................1к-П. (13.96)
Полученные таким способом функции ^'х линейно независимы.
В противном случае можно было бы получить иные функции g, не содержащие sn. Представление симметрической группы, применимое к g, будет эквивалентным представлению Dw, так как все g являются линейными комбинациями функций g. Оно будет унитар* ным, так как g ортогональны. Исследуем поведение функций g0x, gu при перестановках Рд', оставляющих sn неизменной. Эти перестановки образуют группу, изоморфную симметрической группе степени п—1. При этом оказывается, что g0x принадлежат пред* ставлению D ' этой группы, а glx—представлению D . Заметим, что сумма размерностей этих двух^представлений равна lk:
Как только это установлено, неприводимость будет простым следствием этого.
Рассмотрим сначала функции ?1х. Каждая ?1х ортогональна всем функциям Ра1а,...ак_^ и в частности функции
F а,а,... ak_2n~ S0lSaa ... Sa^_sS„Saia] ... ак_гп-
Симметрическая группа
163
Так как h\x содержит sn в нулевой степени, эта функция ортогональна также Faiai... ak 2п, следовательно, тем же свойством
обладает и g'us . Поэтому g'u ортогональна всякой функции saisai ¦ ¦ ¦ sak_2saia,... ak_2n- Но эта ортогональность является определением I' функций Sj, s2..........степени k—1, преобра-
зующихся при перестановке этих переменных в соответствии с представлением которое неприводимо по предположению.
Так как имеется только l'k_1 функций Sj, s2............se_! степе-
ни k — 1, обладающих этим свойством (или ортогональных sais0] .. .
• sak_2sa1a2...аА_2л)’ не может существовать более l'k_l функ-
ций ?1х. Действительно, имеется в точности /' таких функций, и они преобразуются при тех перестановках R', которые оставляют sn неизменным, в соответствии с Чтобы убедиться
в этом, применим Рд> к (13.96) и, так как эта перестановка не затрагивает sn, получим
P*-ii,=s,P*'?,+P*-Al,- О3-11)
Когда эти функции выражены в виде линейных комбинаций функций g0x и glx, сравнение коэффициентов при s„ показывает, что являются линейными комбинациями самих g'u. Поскольку
функции g'l% принадлежат неприводимому представлению это возможно только в том случае, если имеется либо /' линейно независимых функций g'lx, либо ни одной. Последняя возможность может быть исключена, так как в этом случае все g, а следовательно, и все g, не зависели бы от sn. Так как п не играет какой-либо особой роли по сравнению с другими индексами при выборе g, это невозможно. Поэтому мы имеем
_ lk~\
Р (*=1,2........(13.11а)
и lk — l"=xl'k Если то не существует функций типа
(13.9а), т. е. в этом случае все g' в (13.9) линейно независимы. Однако, как это будет показано позднее, ik = l'k_ j только
1
при Д = 7у п.
Если lk > рассмотрим функции (13.9а). Любая перестановка /?' первых п—1 переменных в gQx = h'Qx из (13.9а) снова приводит к функции, не зависящей от sn. Следовательно, если
164
Глава 13
функции Р ? выражены через g, коэффициент при glk должен обращаться в нуль. Поскольку функции линейно независимы, линейная комбинация функций ?1Х из (13.96) может быть независимой-от sn только в том случае, если коэффициенты каждой из этих функций обращаются в нуль. Значит РЛ,?Г0х являются
линейными комбинациями одних только g0x; эти функции принадлежат представлению симметрической группы степени п—1, состоящей из операторов перестановок Р#', оставляющих sn неизменной. Чтобы найти это представление, заметим, что функции gx, а следовательно, и gQx, ортогональны всем Faia>... аЛ_,- Рассмотрим в этом случае те F, индексы которых не содержат п. Они могут быть записаны в виде