Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
sfli, .......Sak-i пРе°бразуется в sbt, sb.........Величина sR
не являющаяся одной из переменных s0i, ........... saA_,. преобра-
Симметрическая группа
159
зуется в одну из переменных sd, отличную от всех sb, в которые преобразуются sa. Поэтому сумма всех п — &+1 переменных s,
не встречающихся среди s0t, ...........Sak-i’ пРе°бразуется в сумму
всех п — &+1 переменных, которые не встречаются среди переменных sb. Это значит, что 5аА... ak , преобразуется в sblbl._.bk_l-Поэтому и величины F0la4 действительно преобразуются
точно Tait же, как произведение s0l, s0l............Sak-i ^
строки.
В приложении к настоящей главе мы покажем, что при k^ ^n
функций Fa,a,... аЛ_, образуют линейно независимую систему. Поэтому можно выбрать такие линейные комбинации этил
функций Fv F2...........F, „ у которые ортогональны, а также
\ k— 1)
линейно независимы. Чтобы завершить построение полной системы^” j функция, из функций sai,s0l............когда k
можно образовать
(13-6)
линейных комбинаций *) gx, g2..........gt , которые вместе с функ-
циями Fx образуют полную ортогональную систему. Тогда все функции saisa^sas ... sak можно выразить через функции этой
системы и, наоборот. Поэтому представление Дт (R) будет рассматриваться в виде Д(А)(/?), который оно принимает после введения этой полной системы Fv F2..........F. „ \, g\, g2.........gib вместо
С*—l /
системы sai,sa,,sa<l....sa ; эта подстановка осуществляет лишь пре-
образование подобия матриц Д(А)(/?).
Поскольку каждая функция Fx является линейной комбинацией функций Fai(ta..' а , функции P#FX являются линейными комбинациями функций Рув и, следовательно, функций
Fа,а,... или ФУНКЦИЙ Fx, Т. е.
(/-l)
р^.= 2 д(*_1)(/гх,^х. (13.7)
Мы обозначили здесь коэффициенты через Д(А-1)(/?), так как они образуют представление, эквивалентное представлению Д^~^ (R).
‘) Одним из примеров такой функции является ($! — s3)(s3 — s4) .. .
... (S2Ц-,—Sm).
160
Глава 13
Функции g% в (13.7) все имеют нулевые коэффициенты; следовательно, A(ft)(/?) имеет вид
*«>
\ О D k)(R)
Кроме того, полная система Fx, F2........F. „ ,, g2............g,
_ U-i/
ортогональна; поэтому матрицы Aw(R) унитарны: bw(R) = \w(R-1)f.
A^iR-1) A (/?_1)
0 D(ft)(/?_1)
А (/T1)* D {k){R~ly
Таким образом, A(/?) = 0, и
A(ft_1)(tf)
0 Dw (/?)
AW(*)=( (13-8)
Следовательно, при k^-уП представление Alft)(/?) распадается на два представления, A(ft_1)(/?) и DW(/?), с размерностями и/А = ^”^—причем первое из них эквивалентно представлению А(а-1)(/?). Далее, Д(А_1)(/?) может быть разбито на два представления, \(k~2\R) и D(A_1)(/?); затем может быть
T(ft)
снова разбито на два и т. д. В конечном счете Д разлагается на D(0)_(-D(1)+ ... +DU). Функция ft-й строки таблицы (13.1), которая преобразуется с помощью D(0) (т. е. инвариантна), являлась ранее суммой всех функций ft-й строки.
Это имеет место при & п. При ft > -g- п все ^ ” j = ( л — А )
функций, в которых л—k переменных встречаются в первой степени, a k переменных — в нулевой, преобразуются точно так же, как рассмотренные выше функции (в которых те же п—k переменных оказывались в нулевой степени и те же k переменных — в первой). Конкретный выбор ортогональной системы функций s не играет никакой роли. Вместо 1, s можно было бы использовать s, 1. Поэтому эквивалентно представлению и
Симметрическая группа
161
может быть разложено на те же самые компоненты. Таким образом, разложение матриц А(/?) принимает при четных п следующий вид (при п = 4):
А(0) (R) = D(0) = D(0),
b(R) =
А(1) (Я) = Д(и) + DU) = DlU) + D'
А(2) (R) = А(1) -f - D(2) = D(0) + D(1) + D(2), A(3)(tf)~A(1) =D(0) + D(1),
A(4) (R) ~ A'
(0)
= D
.О)
а при нечетных n (например, при n = 5)
A (/?) =
A(0) (Я) = D'
A(1)(tf) = Aw + D'
A(2) (R) = A(1) + D(2) = D(0) -f- D(1) + D1
(0)
D
D(0) + D(1),
,(*)
A(3) (R). A (4)(tf)< Д5),
= d(0)+d(1)+d(2),
= D(0) + D(1),
\(0)
• A(2)
¦A(1)
, Aw(tf)~A(0) = D
Покажем, что полученные выше представления D(0\ D(1).........
d("2 л) (или
•4))
неприводимы и различны. Доказательство будем проводить методом индукции. Предположим, что представления, полученные тем же путем для симметрической группы
