Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
что и функция sasbsc. Если желательно выразить функций,
получающихся при применении оператора Рд ко всем функциям А-й строки (13.1), то потребуются только функции ?-й строки. Поэтому эти функции образуют представление (R) симметрической группы с размерностью Так как каждая функция
*) Символом ( ^ j мы, как обычно, обозначаем биномиальный коэф-. ( п \ п\
фициент ^ J = который дает число сочетании из п элемен-
тов по k.
2) Мы начинаем нумерацию строк (13.1) с нуля; последняя строка является п-й.
Симметрическая группа
157
&-й строки преобразуется при перестановке в одну из других функций &-й строки, Aw(/?) имеет один элемент в каждой строке, равный 1, и все остальные элементы, равные 0. Поэтому представление А (R) распадается на представления А<0) (R), А(1) (/?),.. .
. . ., А" (R), матрицы которых имеют только что упомянутое свойство. Используя это обстоятельство, мы вычислим теперь след AW(7?)-
След матрицы A^(R) равен числу функций &-й строки (13.1), которые остаются неизменными при применении Pr. В столбцах матрицы A^(R), соответствующих этим функциям, единицы появляются на главной диагонали; во всех остальных строках они появляются в иных местах, так что на главной диагонали стоят нули. Вычислим теперь это число.
Пусть R является перестановкой с длинами циклов Х1 = |а1, Х2 = (л2—(jlj.....Хр = (лр — [Ap_i (fip = п), например перестановкой
(1> 2......(J.J) ((j,j + 1...(х2) ... (fip-i + 1, (J.p_!+2.......(хр).
Если она должна оставлять функции s®1 • s2‘ ... s*n без изменения,
то показатели переменных Sj, s2.........Sp., должны быть все равны,
так же как и показатели переменных s^+i, Sp.,+2..........и.т. д.,
и наконец показатели переменных s. +1, s. +2.................= s.
rp — 1 rp — 1 rp n
должны быть все равны. Поэтому из всех возможных функций при применении Рд не будут меняться те, которые можно записать в виде
(SjS2 ¦ • • Sp.,) 1 (Sm + lSp., + 2 • • • * • • • (sp.p_, + l • • • s|i.p) p (13.2)
(все равны 0 или 1). Нас интересует число функций &-й строки таблицы (13.1), имеющих вид (13.2). Так как эти функции находятся к &-й строке, должно иметь место соотношение
t^lTl -Н (^2 — f^l) Т2 -Н ••• “ЬЧРр t^p-l) Тр 1=3
==>‘iTi+Vr2+ ••• +ХрТр = А. (13.3)
Следовательно, имеется столько таких функций, сколько уравнение (13.3) имеет решений, в которых неизвестные -fj, у2...........Тр
принимают только значения 0 и 1. Это след R в А * (R), а также след всякой другой перестановки, имеющей длины циклов Xj, Xj, ..., Хр, поскольку они все входят в один класс и поэтому имеют одинаковые следы. Полное число решений (13.3) при заданном k равно коэффициенту при xh в полиноме
0 + -^ОО • • • 0 +^Хр)' 0ч +^2 . .. —Хр = л), (13.4)
так как этот коэффициент есть как раз полное число способов, которыми можно получить k, складывая показатели степени х
158
Глава 13
отдельных множителей (с коэффициентами 1 или 0). Следовательно, коэффициент при k-й степени х в многочлене (13.4) является следом матрицы
След Д(?) должен быть равен размерности этого пред-
ставления. Так как для Е все длины циклов равны 1, Х,=Х2=... ... = Хр = 1, то выражение (13.4) равно (1 -j- -*)'1 и тогда коэф; ициент при xk
действительно равен j. След матрицы, соответствующей транспозиции (1 2) • (3) • (4)... (л) является коэффициентом при xk в выражении (1 + х*) (1 -Ь х)... (1 -Ь х) = (1 -Ь л*) (1 -Ь х)"-\
Произведя вычисления, находим, что он равен
2i'4-w„=("72)+(;i^).
X
Ясно, что \^\R) не является неприводимым представлением, так как линейные комбинации, преобразующиеся при применении оператора Р* в соответствии с А1* ^ (R), могут быть образованы из (”) функций ft-й строки таблицы (13.1), что было бы невозможно в неприводимом представлении.
Особенно простой пример линейной комбинации функций й-й строки можно иепользовать для доказательства приводимости матриц
(R). Утим примером является сумма всех функций ft-й строки. Ясно, что эта сумма преобразуется сама в себя при всякой перестановке.
Поэтому линейная комбинация функций А-й строки, приводящая к ^ ” j новым функциям, из которых эта сумма является первой, вызовет такое преобразование подобия матриц Д^ (/?), что они все должны иметь вид
1 0
(о “л)-
Но представление, которое можно привести к этому виду с помощью преобразования подобия, по определению является приводимым.
Линейными комбинациями функций k-ft строки (13.1), которые
преобразуются как функции sa,, s0l.........Sak-i ^СТР0КИ>
будут
Р ata,... аА_, = sata,... ak_Sa,Sa, ••• saA_,> (13.5)
где saia%...ak , означает сумму всех п—ft + 1 переменных, которые не встречаются среди s0l, sa .........При примене-
нии Рд к функции s0( она преобразуется в s6(. Таким образом,
