Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 6

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 176 >> Следующая


Это равенство устанавливает еще одно свойство матриц.

9. След произведения двух матриц не зависит от порядка перемножения матриц.

Это правило находит наиболее важное приложение в связи с преобразованием подобия матриц. Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором преобразуемая матрица а умножается на преобразующую матрицу р справа и на матрицу, обратную р, слева. Матрица а при этом преобразуется в р-1*р. Преобразование подобия оставляет след матрицы без изменения, так как установленное выше правило показывает, что Р-1*Р имеет тот же след, что и *рр_1 = *.

Важность преобразований подобия вытекает из следующего факта.

10. Матричное уравнение остается в силе, если каждую матрицу, входящую в него, подвергнуть одному и тому же преобразованию подобия.

Например, преобразование произведения матриц *P = y дает

и если

*р = 1,

то

а_1«аа_1Ра = а_11 . »=1.

Нетрудно видеть, что соотношения между суммами матриц и произведениями матриц и чисел тоже .сохраняются при преобразовании подобия. Так, из равенства

Y = * + P

следует, что

a_1Y = a_1 (« + Р) = а_1«Ч-а_1Р

и

= а_1*а-)-а_1ра.

Аналогично, из равенства

Р = аа

следует

а-1Ра = аа-1«а.

Поэтому теорема 10 применима к любому матричному уравнению, в которое входят произведения матриц на числа или другие матрицы, целые (положительные или отрицательные) степени матриц И суммы матриц.
Векторы и матрицы

19

Эти десять теорем для операций с матрицами содержались уже в первых статьях по квантовой механике Борна и Йордана *) и, несомненно, уже известны многим читателям. Они приведены здесь еще раз потому, что уверенное владение этими основными правилами совершенно необходимо для понимания дальнейшего изложения и, в сущности, для всякого квантовомеханического расчета. Кроме того, ими очень часто пользуются в неявном виде, так как иначе даже простейшие доказательства становятся излишне громоздкими2).

Линейная независимость векторов

Векторы vl, v2.......vk называются линейно независимыми,

если не существует соотношений вида

ai°i + а2®2 + ... + akvk = 0, (1.30)

кроме случая, когда все а,,а2, ak равны нулю. Таким образом, ни один из векторов линейно независимой системы не может быть выражен в виде линейной комбинации других векторов системы. В том случае, когда один из векторов, например vv является нулевым вектором, система не является более линейно независимой, поскольку соотношейие

1 • I»! -f- 0 • + ... + о • vk = 0

наверняка удовлетворяется вопреки условию линейной независимости.

В качестве примера линейной зависимости рассмотрим четырехмерные векторы ©1 = (1, 2,—1, 3), ©2 = (0, —2, Ь —1) и ©3 = (2, 2, —1, 5).

О.ни линейно зависимы, так как

2©] +©2 — ©з = 0.

С другой стороны, ©] и ©2 линейно независимы.

Если k векторов vv v2, ..., vk линейно зависимы, то среди них могут быть k' векторов (k' < k), которые линейно независимы. Более того, все k векторов могут быть выражены в виде линейных комбинаций этих k' векторов.

Отыскивая k' линейно независимых векторов, мы исключаем все нулевые векторы, поскольку, как мы уже видели, нулевой

') М. Born, P. Jordan, Zs. f. Phys., 34, 858 (1925).

2) Например, ассоциативный закон умножения (теорема 3) используется неявно три раза при выводе коммутативности обратных матпиц (теорема 6). Читателю предлагается повторить этот вывод с выписыванием всех скобок.
20

Глава 7

вектор никогда не может входить в систему линейно независимых векторов. Затем мы перебираем поочередно остальные векторы, отбрасывая все те, которые могут быть выражены в виде линейных комбинаций уже отобранных векторов. Следовательно, выбранные таким путем k' векторов будут линейно независимыми, так как если ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, между ними не может существовать соотношение типа (1.30). Кроме того, каждый из отброшенных векторов (и таким образом все k первоначальных векторов) может быть выражен через них, поскольку это и было условием отбрасывания.

Линейная зависимость или независимость k векторов vlt v2, ..., vk является также свойством векторов avv .... avk, образуемых из них путем собственного преобразования а. Это значит, что из

«1®1+«2®2+ ••• + «*»* = 0 (1.31)

С1едует, что

alavl-\-a2av2+ ... -\-akavk — 0. (1.31а)

Равенство (1.31а) получается применением преобразования а к обеим частям (1.31) и использованием его линейности. Наоборот, из (1.31а) следует (1.31). Очевидно также, что всякое линейное соотношение между vt имеет место и для avt, и наоборот.

Никакие более чем п «-мерных векторов не могут быть линейно независимыми. Чтобы показать это, заметим, что соотношение
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed