Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 57

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 176 >> Следующая


В п. 8 настоящей главы мы рассмотрели собственное значение с неприводимым представлением. Несмотря на то, что ему принадлежит I собственных функций, оно не может быть расщеплено симметричным возмущением. Это оправдывает название „естественное вырождение", которое описывает соответствие этих I линейно независимых собственных функций одному собственному значению.

О собственном значении, которое, как и рассмотренное выше, соответствует приводимому представлению, говорят, что оно состоит из aj собственных значений представления DW (R), а2 собственных значений представления D(2) (R) и т. д. Совпадение этих ах, а^, .. . собственных значений называется случайным вырождением, так как его появление в отсутствие возмущения связано со специфической природой гамильтониана задачи. Оно не следует из симметрии задачи, лежащей в его основе.

10. То обстоятельство, что собственные функции оператора H-|-XV могут рассматриваться как5принадлежащие одной строке одного неприводимого представления, справедливо не только для точных собственных функций, но и для каждого из последовательных приближений теории возмущений. Прежде всего, ясно, что оно справедливо для точных собственных функций, т. е. для всего степенного ряда по X. Однако, если оно выполняется для всякого ряда и при произвольных значениях X, оно должно быть справедливо и для каждого члена в отдельности.

В частности, „правильные линейные комбинации" для первого приближения к собственным функциям заданного собственного значения Е могут быть выбраны таким образом, чтобы они были комбинациями только собственных функций уровня Е, принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприводимого представления. Если представление для Е содержит данное неприводимое представление D(^ ) (R) только один раз, то имеет лишь одну собственную функцию' ф^ \ которая принадлежит, скажем, х-й строке представления ^ (R), и фУ ^ является тогда уже
148

Глава 12

„правильной линейной комбинацией". Соответствующее собственное значение равно

(ф1л.(Н+ху)ф?л).

Если представление для Е содержит неприводимое представление несколько раз, скажем, aj раз, то Е имеет aj собственных функций ф$, ф$, ф}.........., принадлежащих одной

и той же (х-й) строке представления D(^ (R). Правильные линейные комбинации являются тогда линейными комбинациями этих aj собственных функций-; их нельзя полностью определить без вычислений.

Тем не менее полезно использовать во всех случаях с самого начала те линейные комбинации ф^ собственных функций уровня Е, которые принадлежат одной строке некоторого неприводимого представления. Тогда, в силу (12.8а), выражение

(<$\ = = birb^v{9'

должно обращаться в нуль при j ф j' или %Ф%'. Поэтому секу-лярисе уравнение для Е

\VjXf;j'Xy—bE'\\ = 0

существенно упрощается. Оно распадается, как показывает ближайшее рассмотрение, на отдельные малые „неприводимые секу-лярные уравнения", размерности которых указывают, сколько раз одно и то же неприводимое представление содержится в представлении для собственного значения Е.

Изменение собственных значений и собственных функций представления D(^(/?) может быть вычислено даже в высших приближениях с использованием собственных значений и собственных функций только этого представления. Достаточно даже рассматривать только собственные функции, принадлежащие заданной строке этого представления. Согласно (5.22), например, второе приближение равно

= ?*+'* (Ф*,. v)+¦

Ei^Ek

Если теперь ф, принадлежит-представлению, отличному от D^\R), или строке представления D(^, отличной от той, которой принадлежит ф^, член (фр Уф*,) обращается в нуль и может быть просто исключен из рассмотрения.

11. Если возмущение XV оператора Н инвариантно не относительно полной группы оператора Р, а только относительно под-
Алгебра теории представлений

149

группы, то должны быть введены собственные функции, принадлежащие неприводимым представлениям этой подгруппы. Будем предполагать, что собственные значения и собственные функции оператора Н соответствуют неприводимым представлениям полной группы Р. Матрицы, соответствующие элементам подгруппы, могут тогда быть истолкованы как представление этой подгруппы. Для всех Р и, в частности, для оператора Р/? этой подгруппы, мы имеем

р^л=

Однако матрицы D^ (R) для элементов R подгруппы не обязательно должны быть неприводимыми; но чтобы получить функции, принадлежащие неприводимым представлениям подгруппы, эти матрицы должны быть приведены. Числа и типы неприводимых компонент представления D^\R) как представления подгруппы дают нам числа и типы собственных значений, на которые может расщепиться рассматриваемое собственное значение.

Мы видим, что для характеристики собственных значений уравнения Шредингера существенным является знание неприводимых представлений симметрической группы из п элементов и трехмерной группы вращений. Поэтому мы перейдем к определению этих представлений.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed