Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ф^1', Ф^.......ф^1*, ф<2), <|42)......Ф(;2)......Ф^, Ф^...........Ф^
Алгебра теории представлений
145
те линейные комбинации собственных функций, которые соответствуют этому виду представления для рассматриваемого собственного значения. Запишем теперь соотношение (11.23) предыдущей главы для этого собственного значения:
Р (12.14)
V
[Учитывая нули в (12.13), сразу можно выразить Р^ф^'* в виде линейных комбинаций функций фч с одним и тем же верхним индексом.] Но из (12.14) следует, что ф(Л удовлетворяет (12.3). Собственная функция фМ принадлежит х-й строке представления D(y), а ее партнерами являются ф(Д Щ)..............ф<Л.
Вид формулы преобразования (12.14) показывает, что мы рассматриваем собственные значения матрицы (12.13) как s случайно совпавших собственных значений. Собственные функции ф('), ф^1), ..., ф^1) принадлежат первому собственному значению; фр>, ф^2).....ф<2)—второму; ...; и ф^>, ф?0...........ф(*)— последнему.
Каждому из этих собственных значений принадлежит одно неприводимое представление. Следовательно, если рассматривать таким образом весь спектр собственных значений, можно утверждать, что одно неприводимое представление соответствует каждому собственному значению, и одна строка неприводимого представления соответствует каждой собственной функции; партнерами собственной функции являются другие собственные функции, принадлежащие тому же самому собственному• значению.
В общем случае всякому заданному представлению будет соответствовать очень много собственных значений. Поэтому можно провести дальнейшую стандартизацию формул для представлений, беря представления в одинаковом виде для всех уровней, которым они принадлежат.
Когда несколько собственных функций, являющихся партнерами, принадлежат одному собственному значению, мы говорим о „нормальном вырождении". Если к тому же совпадают несколько собственных значений, как это было в случае собственного значения в (12.13), мы относим это к случайному вырождению. Будем считать, что такая ситуация является весьма необычной и что в важном случае уравнения Шредингера она может встретиться лишь в виде исключения.
8. Чтобы привыкнуть к введенным выше понятиям, применим их теперь для рассмотрения теории возмущений Рэлея — Шредингера. Начнем с собственного значения Е лневозмущенной“ задачи,
146
Глава 12
которое не имеет случайного вырождения. Соответствующее представление группы уравнения Шредингера является тогда неприводимым, и собственные функции .....принадлежат
различным строкам неприводимого представления. Добавим к первоначальному оператору Гамильтона Н „симметричное возмущение" XV, обладающее тем свойством, что оно не нарушает симметрию группы оператора Н, т. е. являющееся симметричным оператором в смысле, введенном в этой главе. Чтобы сформулировать секу-лярное уравнение для первого приближения к сдвигу энергии ДЕ, мы должны вычислить матричные элементы V^?x,). Согласно (12.8а), они все равны нулю при % Ф %' и все равны между собой при х = х'. Если обозначить их общее значение через vE, то секулярное уравнение принимает вид
\vE ~ ДЕ
О Хк? — Д Е
О
О
= 0
lvE — Д Е
и имеет /-кратный корень ~kvE. Таким образом, в первом приближении собственные значения не расщепляются. Более того, они не могут расщепиться в сколь угодно высоком приближении, так как при расщеплении, скажем, на два собственных значения Ех и Е2 с /, и /2 собственными функциями (/: —)-/2 —/), /, собственных функций уровня Ех преобразуются одна в другую под действием Р, и им должно соответствовать представление размерности lv Это представление не может содержать первоначальное неприводимое представление невозмущенного собственного значения, так как /j < I. Тогда эти собственных значений уровня Ех были бы ортогональны всем I собственным функциям уровня Е и не могли бы быть получены из них или из линейных комбинаций каким-либо непрерывным образом. При „симметричном возмущении'1 собственное значение с неприводимым представлением сохраняет это представление и не может расщепиться.
9. Рассмотрим теперь собственное значение, представление которого А (R) содержит DO) (R), D® (R), ... соответственно av а2,... раз. По поводу рассмотрения в п. 7 настоящей главы можно также сказать, что ах собственных значений с представлением DO) (R), а2 — с представлением D<2) (R) и т. д. совпадают случайно. Если теперь вводится симметричное возмущение XV, то наибольшим изменением, к которому оно может привести, является расщепление случайно вырожденных собственных значений, Тогда
Алгебра теории представлений
147
при наличии возмущения будет а, собственных значений с представлением (/?), а2 собственных значений с представлением D<2) (R) и т. д. В общем случае эти ах-\-а2-\- ... собственных значений будут различными. То, что после введения возмущения должны появиться в точности ах собственных значений с представлением D(1)(/?), следует из того факта, что число собственных функций ах1х, принадлежащих представлению D(*> (R), не может измениться. Изменение этого числа означало бы, что изменилось соответствие собственных функций неприводимым представлениям. Выше мы видели, что это не может произойти непрерывным образом.
