Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
х-й строке неприводимого представления, не принадлежит в общем случае х-й строке эквивалентного представления. Теоремы, которые мы приведем ниже, не зависят от частного вида представления.
Для всякой функции \ которая принадлежит х-й строке неприводимого представления \fl\R), согласно (12.2), имеет место
2 DU) (R)*nPpAJ) =j- l^fW. (12.2a)
r 1
Суммируя по X от 1 до Ij, находим
2хШ(/?ГР^Я=^-/хЛ (при *=1.2........................Ij). (12.9)
R
Поскольку в (12.9) х уже несущественно, это равенство удовлетворяется всеми функциями, принадлежащими произвольным строкам представления D^\R), а также произвольными линейны (и ком-
Алгебра теории представлений 143
бинациями таких функций. О функции, удовлетворяющей (12.9) говорят, что она принадлежит представлению D<y)(/?). Этот факт, Так же как и характер, не зависит от специального вида представления. Наоборот, всякая функция, удовлетворяющая (12.9), является линейной комбинацией функций, каждая из которых принадлежит одной из строк представления D^\R). Согласно (12.9),
-^//) = Sz(y)(«)*P«/(/) = SS (12-10)
1 R X R
Но, в соответствии с (12.3), всякая функция вида 2 ^U)(R)*\PrF
принадлежит Х-й строке представления DU)(R). R
Из (12.10) также следует, что функции, принадлежащие эквивалентным неприводимым представлениям, ортогональны друг другу. Кроме того, каждая функция F может быть представлена в виде суммы
F=p/J), (12.1 U
где /(^ принадлежит представлению D(^(/?). Чтобы показать это, достаточно лишь переписать (12.4) в виде
F=2fU).
] = \
ij (12.4а)
/(Л=2/^.
i=i
Функции, принадлежащие заданному неприводимому представлению, имеют, таким образом, свойства, вполне аналогичные свойствам функций, принадлежащих строке неприводимого представления. Линейная комбинация функций определенного рода есть снова функция того же рода; произвольная функция может быть записана в виде суммы функций, по одной из каждого рода; две функции различного рода всегда взаимно ортогональны; наконец, оператор S, инвариантный относительно Рд, преобразует функцию некоторого данного рода в другую функцию того же рода.
Сформулированные здесь общие теоремы о функциях можно резюмировать, если сказать, что функции различного рода (принадлежащие различным неприводимым представлениям или различным строкам одного и того же неприводимого представления) принадлежат различным собственным значениям некоторого эрмитового оператора, который, так же как все Р и функции от них, коммутирует cq всеми инвариантными операторами
144
Глава 12
Оператор Оjx, преобразующий F в
или, в случае, рассматриваемом в настоящем разделе, в
Х(-
OjF = ^ 7.(У) <*)* РцГ
(12.12)
(12.12а)
имеет два собственных значения: 0 и Л//у. Все функции, принадлежащие х-й строке представления D^(/?) или просто представлению Dy) (R), соответствуют собственному значению Л//у. Функции, которые принадлежат другим строкам неприводимого представления (R) (или дру-
гим представлениям), соответствуют собственному значению 0.
Указанные выше теоремы дают не что иное, как соотношения ортогональности и полноты собственных функций операторов (12.12), (12.12а). Разница между ними и обычными эрмитовыми операторами возникает лишь в силу того обстоятельства, что (12.12), (12.12а) являются операторами с бесконечной кратностью вырождения, так как каждому собственному значению принадлежит бесконечное число линейно независимых собственных функций. В математической литературе операторы IjOj/h называются также идемпотентными или проекционными операторами, так как (IjOjjh)2 = IjOj/h.
7. Возвратимся теперь к уравнению Шредингера Нф=?ф. В предыдущей главе мы видели, что однозначно определенное (с точностью до преобразования подобия) представление группы Рд принадлежит каждому собственному значению оператора Н. С другой стороны, мы знаем также, что это преобразование подобия находится в нашем полном распоряжении, поскольку оно состоит просто в выборе определенной линейной комбинации собственных функций.
Со многих точек зрения целесообразно предполагать, что представления отдельных собственных значений, поскольку они не являются неприводимыми, находятся в приведенном виде,
А (Я) =
D(1) (R) 0
0
D(2) (/?)
о
о
D {S\R)
(12.13)
Здесь D(1) (R), ..., D(,J) (R) просто неприводимые представления (не обязательно различные), являющиеся s неприводимыми компонентами представления А (R). Пусть их размерности будут /j, /2......ls. Обозначим через