Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
;=ix=i y=i
Это значит, что сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений равна порядку представляемой группы. Эта теорема была сформулирована, но не доказана на стр. 102.
4. Две функции /У) и g^,'\ которые принадлежат различным
неприводимым представлениям или различным строкам одного и того же представления, ортогональны. Для функций /<Л и g[J"> существуют такие функции-партнеры fU\ fV\ ... и gV'\
g^'\ g^'\ •••> что, по определению,
Р*ЛЛ « 2 PRgU') = ? d"’> (R)x,x, gu\
Так как — унитарный оператор
(ПУ). g{P)^(PRfiJ)’ PrS{P)=
= 2|DU)(^D,y,)(«W(/l». *#'>). (12.7)
Суммируя в этом равенстве по всем операторам группы Р^, получаем
gc//))=-* 2(ДЯ, g[ny (12.8)
Отсюда следует, во-первых, фундаментальная теорема, сформулированная выше, о том, что (ДЛ, обращается в нуль при
J Ф]' или х Ф , и, во-вторых, что (fU\ g[^~j одинаковы для всех партнеров, т. е. не зависят от х.
5. В предыдущей главе мы говорили об операторах, которые симметричны относительно Р#; например, оператор Гамильтона Н
1
Алгебра теории представлений
141
был симметричен относительно операций (11.Е.1) и (11.Е.2). Это значит, что вызывают только такие не сказывающиеся на Н изменения функций, как перестановка тождественных частиц и т. д.
Теперь мы несколько уточним это понятие. Симметричные операторы, которые мы рассматриваем, всегда эрмитовы и соответствуют физическим величинам, как, например, энергии. Операторы P^, относительно которых некоторый оператор симметричен, являются унитарными операторами. Однако они не соответствуют физическим величинам; вместо этого они преобразуют волновую функцию заданного состояния в волновую функцию другого состояния. Оператор S называется симметричным, если он действует на все Р^ср так же, как и на ср. Мы сразу увидим, что это определение совпадает с определением предыдущей главы.
Утверждение о том, что S — некоторый оператор, симметричный относительно Р/г. и что ф — одна из его собственных функций, т. е. вф = 5ф, означает, что в состоянии ф измерение величины, которой соответствует S, с определенностью дает значение s. Тогда это должно выполняться и для Рдф, т. е. Р^ф также должна быть собственной функцией оператора S, принадлежащей собственному значению s.
Применяя P^ к обеим частям уравнени! $ф = 5ф, находим Р^вф = Рд$ф = ^Рдф- Отсюда с учетом уравнения SP^ = sP^ имеем 8Р^ф = Р^8ф; это соотношение должно выполняться для каждой собственной функции оператора S, так как собственное значение не входит в последнее равенство. Это соотношение
линейно и поэтому применимо ко всякой линейной комбинации собственных функций, а следовательно, ко всем функциям. Поэтому отсюда следует операторное тождество S'P* = P*S: оператор, симметричный относительно Рд, коммутирует со всеми Рд. Нет никакой разницы, в каком порядке S и Рд применяются к функции. Говорят, что S инвариантен относительно Рд.
Применяя оператор S к (12.1), мы видим, что если принадлежит х-й строке представления D(;), то той же строке при-
надлежит и Sf%*. Тогда из (12.8) следует, что
(/Ш S^'>) = V8хх,(/Ш SgUI) (12.8а)
обращается в нуль при j' или при j — j', % = %' это
выражение не зависит от х.
Хотя эти теоремы имеют весьма общую природу, они широко известны только для простейших групп операторов. Одна группа, для которой эти теоремы привычны, состоит из тождественного оператора Рд и оператора (11.15) гл. 11:
fW (•*)=/(— •*). рд=ря-
142
Глава 12
Группа РЁ, Рд является группой отражений. Она имеет два неприводи-: мых представления, причем оба одномерны:
D(1) (?) = (1), D^1' (R) = (1) и D(2) (?) = (1), D(2)(/?) = (— !)•
Для функций, принадлежащих первому представлению (оно имеет лишь одну строку), (12.1) приобретает вид
РRfW (¦*) =/(1) (— х) = I -/(1) (JC).
Это четные функции х. Для функций, которые принадлежат второму представлению, (12.1) запишется следующим образом:
Рд/(2) « = /(2) (- х) = - 1 -/® (*)¦
Это нечетные функции. Уравнение (12.3) для ^л:) имеет вид
D<« (?) Р^1) (jc) + D<'> (R) Р*/<» (*) =
= 1 ¦ /<« (х) + 1 ¦ /<» (- х) = у /(1) (JC).
а для /^ (х) — вид
D<2) (?) РEfW (х) + D&(R) РRf^ (jf) =
= 1 • fW (jc) — 1 - /(2) (- x) = ~ /(2) (*)•
Обратно, из этих уравнений следует, что /^ (¦*)—четная функция, a (х) — нечетная. Конечно, известно, что всякая функция может быть
разложена на четную и нечетную части и что всякая четная функция ортогональна всякой нечетной.
6. До сих пор мы должны были предполагать, что представления определены некоторым произвольным образом. Тот же произвол имеется в определении функций функция, принадлежащая
