Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Больше того, определитель \§jk\ является обратным определителю \<ijk\, поскольку, согласно теореме 1,
I hk I ' I aJk I= I ^jk I = 1- (1-15)
Отсюда следует, что матрица а не имеет обратной, если
|aiA| = 0, и что матрица fl, обратная матрице а, также должна
иметь обратную.
Теперь мы покажем, что если имеет место соотношение (1.13), то соотношение
«Р=1 (1.16)
также справедливо. Это значит, что если р является матрицей, обратной а, то одновременно а есть матрица, обратная р. Это проще всего показать путем умножения равенства (1.13) справа на матрицу р:
ЫР= Р, (1.17)
и. умножения полученного равенства слева на матрицу, обратную р, которую мы обозначим через у. Тогда
ТЫР= тР.
и поскольку, согласно предположению, YP = b последнее равенство совпадает с (1.16). Обратно, нетрудно показать, что (1.13) следует из (1.16). Таким образом, доказана теорема 6 (матрица, обратная а, обозначается через at-1):
6. Если at-1 есть матрица, обратная матрице at, то матрица at также является обратной at-1. Очевидно, что матрицы, Обратные друг другу, коммутируют.
16
Глава /
Правило. Матрица, обратная произведению at^S, получается путем перемножения матриц, обратных отдельным сомножителям, в обратном порядке, т. е.
(8-1y-1P-1*-1) • (*Py^) = 1-
Другой важной матрицей является нулевая матрица.
7. Нулевой матрицей называется матрица, каждый элемент которой равен нулю:
ООО ... О
ООО ... О
0 =
(1.18)
10 0 0 ... О
Очевидно, что для любой матрицы at имеет место равенство
at • 0 = 0 • at = 0.
Нулевая матрица играет важную роль в другой операции с матрицами, а именно в сложении. Сумма y Двух матриц at и {3 есть матрица с элементами
Т/А = а/А + Р/А- (1.19)
При этом п2 уравнений (1.19) эквивалентны уравнению
Y = * + P или Y — * — Р = 0.
Сложение матриц, очевидно, перестановочно:
® —1— Р Р —1— вс. (1.20)
Кроме того, умножение на сумму подчиняется распределительному закону:
y(*+P)=y*+yP.
(*-bP)Y = *Y + PY-
Далее, произведение матрицы at на число а определяется как матрица Y. каждый элемент которой равен произведению а на соответствующий элемент at:
Т ik = aaik- (1-21)
Очевидным следствием являются формулы
(ab)a = a{ba), atap = aat(3, a(at + p) = aat+ap.
Так как целые степени матрицы at могут быть легко определены посредством последовательного умножения
at2 = at • at, at3 = at • at • at, ..., j
Я-2 = at-1 • at-1, = • ar1 ¦ flt-1.} (1-22)
Векторы и матрицы
17
то можно также определить многочлены с положительными и отрицательными целыми степенями
... +л_„«-л+ ... +а_1«~1 +а01 +«i«+ • • • +а„«п + ....
(1.23)
Коэффициенты а в приведенном выражении являются числами, а не матрицами. Функция от at типа (1.23) коммутирует со всякой другой функцией от at (и, в частности, с самой матрицей at).
Еще одним часто встречающимся типом матрицы является диагональная матрица.
8. Диагональная матрица—это матрица, все элементы которой, кроме тех, что лежат на главной диагонали, равны нулю'.
Dj 0 ... О
D :
О D,
О О
О
А,
(1.24)
Общий элемент этой диагональной матрицы может быть записан в виде
D
ik ¦
(1.25)
Все диагональные матрицы коммутируют, и произведение двух диагональных матриц есть снова диагональная матрица. Это можно видеть непосредственно из определения произведения:
(DD')» = 2 D^D'jk = S DtbtjDjbJk = (1.26)
Обратно, если какая-либо матрица at коммутирует с диагональной матрицей D, все диагональные элементы которой различны, сама at должна быть диагональной матрицей. Выписывая произведение
находим
aD = Dat,
(atD)i4 = a lkDk = (Dat)ift = Diaik,
(Dt Dk) alk = 0;
(1.27)
(1.27a)
для недиагонального элемента (l Ф k) из Dt Ф Dk следует, что aik равен нулю. Таким образом, at диагональна.
Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом:
Trat — 2а// — а11+а22+ ••• +ал ц‘
(1.28)
18
Глава /
След произведения матриц а§ равен
Тг «р = 2 («Р)и = 2 = Tr Р«- (1.29)
i jk