Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 5

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 176 >> Следующая


Больше того, определитель \§jk\ является обратным определителю \<ijk\, поскольку, согласно теореме 1,

I hk I ' I aJk I= I ^jk I = 1- (1-15)

Отсюда следует, что матрица а не имеет обратной, если

|aiA| = 0, и что матрица fl, обратная матрице а, также должна

иметь обратную.

Теперь мы покажем, что если имеет место соотношение (1.13), то соотношение

«Р=1 (1.16)

также справедливо. Это значит, что если р является матрицей, обратной а, то одновременно а есть матрица, обратная р. Это проще всего показать путем умножения равенства (1.13) справа на матрицу р:

ЫР= Р, (1.17)

и. умножения полученного равенства слева на матрицу, обратную р, которую мы обозначим через у. Тогда

ТЫР= тР.

и поскольку, согласно предположению, YP = b последнее равенство совпадает с (1.16). Обратно, нетрудно показать, что (1.13) следует из (1.16). Таким образом, доказана теорема 6 (матрица, обратная а, обозначается через at-1):

6. Если at-1 есть матрица, обратная матрице at, то матрица at также является обратной at-1. Очевидно, что матрицы, Обратные друг другу, коммутируют.
16

Глава /

Правило. Матрица, обратная произведению at^S, получается путем перемножения матриц, обратных отдельным сомножителям, в обратном порядке, т. е.

(8-1y-1P-1*-1) • (*Py^) = 1-

Другой важной матрицей является нулевая матрица.

7. Нулевой матрицей называется матрица, каждый элемент которой равен нулю:

ООО ... О

ООО ... О

0 =

(1.18)

10 0 0 ... О

Очевидно, что для любой матрицы at имеет место равенство

at • 0 = 0 • at = 0.

Нулевая матрица играет важную роль в другой операции с матрицами, а именно в сложении. Сумма y Двух матриц at и {3 есть матрица с элементами

Т/А = а/А + Р/А- (1.19)

При этом п2 уравнений (1.19) эквивалентны уравнению

Y = * + P или Y — * — Р = 0.

Сложение матриц, очевидно, перестановочно:

® —1— Р Р —1— вс. (1.20)

Кроме того, умножение на сумму подчиняется распределительному закону:

y(*+P)=y*+yP.

(*-bP)Y = *Y + PY-

Далее, произведение матрицы at на число а определяется как матрица Y. каждый элемент которой равен произведению а на соответствующий элемент at:

Т ik = aaik- (1-21)

Очевидным следствием являются формулы

(ab)a = a{ba), atap = aat(3, a(at + p) = aat+ap.

Так как целые степени матрицы at могут быть легко определены посредством последовательного умножения

at2 = at • at, at3 = at • at • at, ..., j

Я-2 = at-1 • at-1, = • ar1 ¦ flt-1.} (1-22)
Векторы и матрицы

17

то можно также определить многочлены с положительными и отрицательными целыми степенями

... +л_„«-л+ ... +а_1«~1 +а01 +«i«+ • • • +а„«п + ....

(1.23)

Коэффициенты а в приведенном выражении являются числами, а не матрицами. Функция от at типа (1.23) коммутирует со всякой другой функцией от at (и, в частности, с самой матрицей at).

Еще одним часто встречающимся типом матрицы является диагональная матрица.

8. Диагональная матрица—это матрица, все элементы которой, кроме тех, что лежат на главной диагонали, равны нулю'.

Dj 0 ... О

D :

О D,

О О

О

А,

(1.24)

Общий элемент этой диагональной матрицы может быть записан в виде

D

ik ¦

(1.25)

Все диагональные матрицы коммутируют, и произведение двух диагональных матриц есть снова диагональная матрица. Это можно видеть непосредственно из определения произведения:

(DD')» = 2 D^D'jk = S DtbtjDjbJk = (1.26)

Обратно, если какая-либо матрица at коммутирует с диагональной матрицей D, все диагональные элементы которой различны, сама at должна быть диагональной матрицей. Выписывая произведение

находим

aD = Dat,

(atD)i4 = a lkDk = (Dat)ift = Diaik,

(Dt Dk) alk = 0;

(1.27)

(1.27a)

для недиагонального элемента (l Ф k) из Dt Ф Dk следует, что aik равен нулю. Таким образом, at диагональна.

Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом:

Trat — 2а// — а11+а22+ ••• +ал ц‘

(1.28)
18

Глава /

След произведения матриц а§ равен

Тг «р = 2 («Р)и = 2 = Tr Р«- (1.29)

i jk
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed