Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
“ 2 Pi/»;*.
)=1
(1.9)
получаем просто
П
(1.86)
Векторы и матрицы
13
Это показывает, что комбинация двух линейных преобразований (1.7) и (1.3) с матрицами ((3^) и (aik) представляет собой линейное преобразование, имеющее матрицу (f/ft).
Матрица (Т/*), определенная через матрицы (atk) и ($ik) согласно равенству (1.9), называется произведением матриц (рг<,) и (aik). Так как (aik) преобразует вектор г в вектор г' = хг, а ((Зи) преобразует вектор г' в вектор г" — fir', то матрица (?/*). представляющая по определению произведение матриц (aik) и ((3/fe), преобразует вектор г непосредственно в вектор г" — уг. Этот метод сочетания преобразований называется „матричным умножением" и имеет ряд простых свойств, которые мы перечислим ниже в виде теорем. '
Прежде всего мы замечаем, что формальное правило умножения матриц совпадает с правилом умножения определителей.
1. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей каждого из двух сомножителей.
При перемножении матриц соотношение
не является обязательно справедливым. Например, рассмотрим две матрицы
Этим устанавливается второе свойство матричного умножения.
2. Произведение двух матриц зависит, вообще говоря, от порядка сомножителей.
В том весьма частном случае, когда равенство (1.Е.1) справедливо, матрицы at и р называются коммутирующими.
3. В противоположность перестановочному закону при перемножении матриц имеет место сочетательный (ассоциативный) закон умножения.
Иначе говоря,
atfi = fiat
(1.Е.1)
Тогда
но
т(Р*)=(тР)*-
(1.10)
Таким образом, несущественно, умножается ли матрица у на ПР0_ изведение матриц § и at или произведение матриц у и Р—на матрицу at. Чтобы доказать это, обозначим элемент с индексами I
14
Глава t
и k матрицы в левой части (1.10) через eik. Тогда
= 2 Ти (Н* =22 ТuhPtk- (1 ¦10а)
]=1 j=\ i=i
Элемент с индексами i и k в правой части (1.10) равен
4 = 2 Ши Чк = 2 2 TifijPik- (1 • Юб)
1=1 1=1 y=i
Мы видим, что гш = г1к и, следовательно, (1.10) доказано. Поэтому в обеих частях (1.10) можно просто писать yP«-
Справедливость сочетательного закона становится немедленно очевидной, если рассматривать матрицы как линейные операторы. Пусть at преобразует вектор г в вектор г' = аг, р— вектор г'
в г" = fir' и y — вектор г" в г"' = уг". Тогда объединение двух
матриц в одну путем матричного умножения означает просто комбинацию двух операций. Произведение §а преобразует г непосредственно в г", a yP преобразует г' прямо в г"'. Таким образом, как (yP) at, так и y(P®) преобразуют г в г'", и обе эти операции эквивалентны.
4. Единичная матрица 1 0
1= 0
0
1
0
о
0
1
0 0 0
1
(1.11)
играет особую роль в матричном умножении, такую же как число 1 в обычном умножении. Д^я любой матрицы at
at • 1 = 1 • at.
Тем самым 1 коммутирует со всеми матрицами, и ее произведение на любую матрицу равно этой матрице. Элементы единичной матрицы обозначаются символом bik, так что
8,, = 0 О -J к).
8„=1 (, = *> <1Л2>
Величина b!k, определенная таким образом, называется дельтасимволом Кронекера. Матрица (8iA) = 1 производит тождествен-
ное преобразование, оставляющее переменные без изменения.
Если для заданной матрицы at существует такая матрица р, при которой
Pat = 1, (1.13)
Векторы и матрицы
15
то Р называется матрицей, обратной матрице at. Соотношение (1.13) означает, что существует преобразование с матрицей р, которое в сочетании с матрицей at дает тождественное преобразование. Если определитель матрицы at не равен нулю (|а(й|?=0), то обратное преобразование всегда существует (как уже упоминалось на стр. 10). Чтобы доказать это, выпишем п2 уравнений (1.13) в явном виде:
= (*• *=!• 2. .... я). (1.14)
}=1
Рассмотрим теперь п уравнений, в которых I имеет одно значение, например I. Эти уравнения составляют п линейных уравнений с п неизвестными Рп* Р/2- • • • * Ргя- Следовательно, они имеют един-
ственное решение, если только определитель |ауА| не обращается в нуль. То же самое справедливо для остальных п — 1 систем уравнений. Тем самым устанавливается пятое свойство.
5. Если определитель \aJk\ отличен от нуля, то существует одна и только одна такая матрица р, что р«=1.
