Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 3

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 176 >> Следующая


*ii

Ал1

*1л

Ф о.

(1.4а)

Преобразования, матрицы которых имеют отличные от нуля определители, называются собственными преобразованиями, однако таблица коэффициентов вида (1.4) всегда называется матрицей, не1ависимо от того, отвечает ли она собственному преобразованию или нет. Матрицы будем обозначать буквами, напечатанными жирным шрифтом, а элементы матриц — светлыми буквами с индексами, указывающими на соответствующие оси. Таким образом, at есть матрица, таблица ге2 чисел; o.jk есть элемент матрицы (число).

Две матрицы равны, если все их соответствующие коэффициенты равны. Следовательно, равенство

at =р (1.5)

эквивалентно ге2 равенствам

<*7* = Ру* (/,*=1,2..........п).
Векторы и матрицы-

11

Уравнениям

о-3а)

я = 1

можно придать другое толкование, если рассматривать дг' не как компоненты исходного вектора в новой системе координат, а как компоненты нового вектора в исходной системе координат. Тогда мы говорим, что матрица at преобразует вектор X в вектор х', или что at, примененная к вектору X, дает вектор х'\

х' = ях. (1.36)

Это уравнение полностью эквивалентно (1.3а).

Любая я-мерная матрица является линейным оператором по отношению к я-мерным векторам. Она представляет собой оператор, потому что она преобразует один вектор в другой; этот оператор является линейным, поскольку для произвольных чисел а и b и произвольных векторов гиг» справедливо соотношение

at {аг -(- bv) = aar -|- bav. (1.6)

Для доказательства (1.6) достаточно выписать в явном виде правую и левую части равенства; k-я компонента вектора ar-\-bv

равна ark-\-bvk, так что I-я компонента вектора в левой части равна

П

2 ("¦*+а»*)-

k=\

Но она совпадает с i-Vi компонентой вектора в правой части (1.6)

П П

а 2 + * 2 <*гЛ-

*=i *=i

Тем самым линейность матричных операторов установлена.

Отметим, что л-мерная матрица является наиболее общим линейным оператором в л-мерном векторном пространстве. Это значит, что всякий линейный оператор в этом пространстве эквивалентен матрице. Чтобы доказать это, рассмотрим произвольный линейный оператор О, преобразующий вектор ех — (1, 0, 0, ..0) в вектор г Л, вектор ег — (0, 1, 0, .. .,0)

в вектор г.2 и, наконец, вектор еп~ (0, 0, 0.............1) в вектор г.л, где

компоненты вектора г k равны r]k, r2k........rnk. Тогда матрица (’rik)

преобразует каждый из векторов в\, ег........еп в те же векторы г.,,

г-2> г-п< что и оператор О. Кроме того, любой л-мерный вектор а является линейной комбинацией векторов elt е2, .... еп. Таким образом, как О, так и (flk) (поскольку они линейны) преобразуют любой произвольный вектор а в один и тот же вектор j -f- ... -f- Д„г.л. Следовательно, матрица (rfft) эквивалентна оператору О.
12

Глава 1

Наиболее важным свойством линейных преобразований является то, что два линейных преобразования, примененные последовательно, могут быть скомбинированы в одно линейное преобразование. Предположим, например, что мы вводим новые переменные х' вместо первоначальных х посредством линейного преобразования (1.3) и затем вводим переменные х" путем второго линейного преобразования

Обе операции могут быть скомбинированы в одну, так что переменнее х" вводятся непосредственно вместо х с помощью одного линейного преобразования. Подставляя (1.3) в (1.7), находим

Таким образом, переменные х" являются линейными функциями переменных х. Мы можем записать (1.8) в более компактной форме, используя сокращенную запись равенств (1.3) и (1.7):

Кроме тего, вводя матрицу у и определяя ее элементы с помощью соотношений

(1.7)

Jcl“Pll(allJCl+ ••• +ainJCn)+ ••• +Pln(anlJ<:i+• • •+алЛ).

Х2 ?21 (“и*! + • • • + а1пХп) + • • • + Ргл (anl*1 + • • • + аппХп)’

Х"п “ P/ll (а11*1 + • • • + а1Л) + • • • + Рлл (Vl + • • • + а„„Х„)-

(1.8)

(1.3В)

(1.7а)

Тогда (1.8) принимает вид

п п

(1.8а)

Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed