Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
~ 2т (<*? + + дх23 )+ 2 + +
Этот оператор имеет как раз вид (6.2).
Измерение некоторой величины (координаты, энергии) может в общем случае дать только такое значение, которое является собственным значением соответствующего оператора. Так, например, возможными уровнями энергии являются собственные значения оператора Н. Какова вероятность того, что величина, представляемая оператором G. имеет значение \к, если система находится в состоянии
ср (лгх...х^)? Эта вероятность равна нулю, если \к не является
собственным значением оператора G; с другой стороны, если \к есть собственное значение и если есть соответствующая нормированная собственная функция, то
К?. Ф*)12 = I(Фа» ?)12 (6.3)
дает искомую вероятность.
Согласно статистической интерпретации, могут быть вычислены только вероятности возможных исходов измерений; результат изме-
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики 63
рения или опыта в общем случае не может быть предсказан с достоверностью.
Если ср разложена по полной ортогональной системе собственных функций оператора G, т. е.
cP = ai4’i + <M,2+ • • •• (6-4)
и если
С3ф* = ^*ф*. (6.4а)
то (6.3) показывает, что вероятность того, что в результате измерения будет получено значение \k, равна как раз квадрату абсолютного значения \ak\2 величины
(Ф*. <?) = «*• (6-5)
Конечно, сумма вероятностей всех возможных значений ...,
должна быть равна единице. Это значит, что
Ki2 + 1аг12 + • • • = !•
То, что это действительно имеет место, следует из нормировки функции ср:
(т. ?) = (2«*Ф*. 2 в«фЛ = 2 (ф*. Фг) =
\ k i I k,i
= 2 Az = 2 К I2 = i • k, I k
Волновая функция c<p (с |c| = 1) соответствует тому же состоянию, что и волновая функция ср; поэтому волновая функция определяется физическим состоянием только с точностью до множителя с модулем единица. Все вероятности, вычисленные с помощью волновой функции ср, совпадают с вероятностями, найденными с помощью волновой функции сер, как это непосредственно видно из соотношений
КФ*. с?)12=ИФа. <р)12 = М2|(Фа, ср)|2=|(фЛ, ср)|2.
Поскольку эти вероятности являются единственными физически реальными характеристиками состояния, то состояния, описываемые этими двумя волновыми функциями, с физической точки зрения совпадают.
Если одному и тому же собственному значению \k принадлежат несколько линейно независимых собственных функций фи, фАЗ, ... (которые предполагаются взаимно ортогональными), то вероятность для \k равна сумме квадратов коэффициентов разложения:
|(Ф*,. Т)|2-|- |(ФА2. <Р)|2+|(Ф*3. *)|2+ ••••
64
Глава б
Предшествующее обсуждение относится только к вероятностям дискретных собственных значений. Вероятность вполне определенного собственного значения непрерывного спектра всегда равна нулю, поскольку в непрерывном спектре только конечные области могут иметь конечные вероятности. Если рассматриваемая область достаточно мала, эта вероятность равна квадрату абсолютной величины коэффициента разложения нормированного собственного дифференциала, принадлежащего к этой области.
2. Только в одном случае выражение для вероятности, вычисленное с помощью квантовой механики, вырождается во вполне определенное утверждение; это тот случай, когда волновая функция состояния ср является собственной функцией оператора G, соответствующего измеряемой физической величине, так что Gf = Xftcp. Тогда ср ортогональна всем собственным функциям оператора G, не принадлежащим \k, и вероятность этих собственных значений равна нулю. Поэтому вероятность для \к равна 1. В этом случае измерение дает значение \k с достоверностью.
Если в результате измерения некоторой величины мы нашли, что она имеет определенное значение, мы должны получить то же самое значение при достаточно быстром повторении измерения. В противном случае утверждение, которое делается на основании измерения, что рассматриваемая величина имеет то или иное значение, не имело бы смысла. Вероятность при повторном измерении, а также волновая функция, существующая только для вычисления вероятностей, меняются в течение измерения ')• В самом деле, волновая функция после измерения, давшего собственное значение \k для G, должна быть собственной функцией оператора G, принадлежащей к \k. Только в этом случае повторное измерение G даст наверняка снова значение \k. При измерении величины, изображаемой оператором G, волновая функция возмущается и переходит в некоторую собственную функцию оператора G, в частности в если измерение имело результатом \k.
В общем случае невозможно предсказать с достоверностью, какой именно собственной функцией оператора G станет волновая функция состояния системы; квантовая механика дает лишь вероятность |(фА, ср) j2 для определенной собственной функции и собственного значения \k. Так как вероятность перехода волновой функции ср в при измерении величины G может быть вычислена с помощью двух волновых функций ср и выражением |(фА, ср)|2.
