Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
стала диагональной. Тогда члены с нулевыми знаменателями в (5.23) исчезают, и суммирование может быть выполнено. Все это происходит автоматически, если правильные собственные функции первого приближения (5.15) известны из других соображений и используются с самого начала.
1Фк
а соответствующая собственная функция равняется
(5.22)
(5.23)
(5.24)
i+k
60
Глава 5
С точностью до этого видоизменения метод теории возмущений, следовательно, по-прежнему применим, когда несколько собственных функций (хотя и не в бесконечном числе) соответствуют одному и тому же дискретному собственному значению. Эта ситуация будет предметом нашего исследования в значительной части дальнейшего изложения, и результаты, полученные в этой главе, составляют основу большинства квантовомеханических расчетов. Действительно, такие расчеты часто ограничены линейным членом в (5.22), т. е. членом, вклк&ающим V= v[. Этот член можно вычислять путем решения секулярного уравнения (5.18) или, более прямым путем, с помощью простой квадратуры, если только известна „правильная линейная комбинация", для которой справедливы соотношения
= V^AlJ = 0 (v=jfc]x)
И
wVV' = 0 (v=?v' И г/ = г/,).
Эту ^правильную линейную комбинацию" можно часто определять непосредственно из теоретикогрупповых соображений без решения секулярного уравнения. Такие определения являются одним из важных приложений теории групп к квантовомеханическим задачам.
Глава 6
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1. На ранней стадии развития квантовой механики основное внимание было уделено определению уровней энергии, вероятностей спонтанных переходов и т. д.; затем все большее внимание стало уделяться принципиальным вопросам и отысканию физического истолкования матриц, операторов и собственных функций. Такое истолкование дается статистической интерпретацией квантовой механики, в развитии которой существенную роль сыграли Борн, Дирак, Гейзенберг, Йордан и Паули.
В то время как в классической механике для описания системы с / степенями свободы необходимо 2/ чисел (/ пространственных координат и / импульсных координат), квантовая механика описывает состояние такой системы нормированной волновой функцией ср(лг,....[(ср, ср)=1], аргументами которой являются
пространственные координаты. Точно так же, как классическая теория определяет состояние 2/ произвольными числами, квантовая теория определяет состояние волновой функцией, удовлетворяющей одному ограничению:
Это состояние может быть собственной функцией уравнения Шредингера или линейной комбинацией таких собственных функций. Таким образом, множество состояний гораздо обширнее в квантовой механике, чем в классической теории.
Эволюция системы во времени определяется в классической механике уравнениями движения Ньютона, а в квантовой механике— зависящим от времени уравнением Шредингера
где Н — гамильтониан. В простейшем случае Н имеет вид
ОО
J ... J | ср (JCj, х2.....x/)j2dx1 ... dxf= 1.
— ОО
(6.1)
(6.2)
62
Глава 6
Разумеется, точное определение оператора Н является наиболее важной задачей квантовой механики.
В классической механике 2/ чисел, служащих для описания состояния, непосредственно дают координаты и скорости отдельных частиц, посредством которых можно без труда вычислить произвольные функции этих величин. В квантовой механике вопрос о положении частицы в общем случае не имеет смысла. Можно лишь говорить о вероятности, с которой частица может быть найдена в определенном месте. То же самое относится к импульсу и к функциям этих величин, как, например, энергии.
Всем величинам, имеющим физический смысл, соответствуют квантовомеханические эрмитовы операторы. Так, например, оператором, соответствующим координате xk, является „умножение на xk“, оператором импульса является —ih(d/dxk), оператором энергии, согласно (6.2), является Н и т. д. Последний оператор играет особую роль, поскольку он входит в зависящее от времени уравнение Шредингера.
В общем случае эти операторы получаются путем замены в классическом выражении физической величины, как функции координат и импульсов, пространственных координат хь оператором „умножения на Xh“, а импульсных координат рк оператором — ih (д/дхк). Например, энергия классического гармонического осциллятора равна
^{р\+ р\ + Рг) (*i + х\ + -*з)•
В квантовой механике она заменяется оператором
й2 / , д2 , \ , * / I
