Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
2 в*АФ/+\Л!>, =Е*Ф* + ?* 2<*«ф». (5.5а)
i i
2^«?гФг + 2 aki^^i — ~\~Ek 2 akl^t-\-Ek 2 bk$v (5.56)
Соотношение (5.5a) позволяет найти Е'ь и akl при 1фк. Составляя скалярное произведение с фА или Фг и используя соотношение ортогональности, получаем
«лА+СФ*. V+*) = ?i + e**?s, (5.6)
4iEi + V<!>*) - Ekau (l Ф k). (5.7)
Если здесь ввести сокращенное обозначение
^=(ta. Щ)=№*. фр=(фр, щау=v;a (5.8)
(V^ называется матричным элементом оператора V), решения принимают вид
Е* = (Ф*. V^) = Vkh, (5.6а)
= = V + *)• <5.7а)
Аналогично, умножая на ф* и интегрируя по всему конфигурационному пространству, из (5.56) получаем
#**?* +2 <*«(Ф*. Vtti) = E"k+E'kQkk+Ekbkk. (5.9)
Разобьем сумму' по / в левой части равенства (5.9) на две части, выписывая член с 1 = к отдельно. Тогда можно подставить значение для Е), из (5.6а) и значение для ак1 из (5.7а); в результате получим
р" _ V <Ф«- V^> <Ф» — V I Уи I2
l+Ь ' l+ь
Это дает новое собственное значение Fk с учетом членов порядка X2:
+ V ^ 1ЙЙГ • (5Л0>
i + k
Теория возмущений
55
Новая собственная функция cpft дается выражением
= 2 Ек — Ё'[ ^аы^Ь'
i + k
учитывающим члены порядка X. Заметим, что akk всегда выпадало из предыдущих уравнений. Это соответствует тому обстоятельству, что нормировочная константа функции <?k не определена. Если положить (срд, <pft)=l, то найдем, что акк = О, и собственная функция
(5-11)
1фк
нормирована в пренебрежении членами порядка X2.
Следует заметить, что при совпадении собственных значений Ек и Et двух собственных функций фг и <tyk исходной задачи в суммах (5.10) и (5.11) могут появляться бесконечно большие члены. Вскоре мы увидим, что такие члены могут быть исключены, так что их появление не представляет серьезной трудности. После того как это сделано, появляющиеся в формулах суммирования могут быть выполнены в большинстве встречающихся на практике случаев.
Однако еще ничего не было сказано о сходимости всего метода в целом, т. е. рядов (5.3а) и (5.36). Они вполне могут расходиться; во многих примерах уже один только третий член оказывается бесконечно большим! Кроме того, известно, что дискретное собственное значение, особенно, если оно перекрывается непрерывным спектром в исходной задаче, может „размыться" под действием возмущения, т. е. полностью перейти в непрерывный спектр.
Тем не менее, функция (5.11) сохраняет вполне определенное значение: она описывает состояние, которое при малых X, если и не абсолютно стационарно, то почти обладает этим свойством, распадаясь лишь после очень большого промежутка времени. Собственное значение Fk в (5.10) дает приближениую энергию, а после деления на Й — приближенную частоту для этого состояния. Если величина
а = (Н + XV — Ек) cpft
образована с помощью (5.10) и (5.11), она оказывается величиной второго порядка по X. Таким образом, если принимается, что волновая функция ср (<t) системы совпадает с cpft при t — 0 [ср (0) = cpft], то можно написать
<р (0 = <rft exp / A t) + X (О-
(5.12)
56
Глава 5
Подставляя эту функцию в зависящее от времени уравнение Шре-дингера
d<f
ih 6t
= /%?*exp(-/-^) + tt^ = (H + XV)<p(0 =
= ркЪ exP (— 1 -X t) + яехр(— I -x t) + (H + XV)x.
получаем
tf-g- = eexp(-r-^-*) + (H + XV)x. (5.13)
откуда можно вычислить (d/dt)(%, у):
(X. X) = —-g-[exp(—^фх. e)—exp(+/^S*)(e. x)]-
Используя неравенство Шварца |(х, я)|2^(х> X) • (°* й)> можно найти верхнюю границу этой производной по времени:
dt
(х. XXjViX, Х)(в. о).
или, поскольку а не зависит от времени,
^/(Х. X)<-}-V(a, а) ,
_____ ____ (5.14)
V<X, X) <^У(а. а) +с-
Мы предположили, что х = ^ ПРИ ^ = 0; поэтому постоянная с также равна нулю. Тогда
t2
(X. Х)<(в. a)gr-
Э/гао значит, что разница между ср (/) и cpftexp^—всег^а
мала для t, малых по сравнению с Ь/\^(а, а). Поскольку (а, а) пропорционально X4, функция cpft ведет себя как истинная собственная функция в течение сравнительно большого промежутка времени, если только X мало.
2. Как мы уже упоминали, данное здесь изложение необходимо видоизменить, когда в исходной задаче имеет место вырождение, т. е. когда несколько линейно независимых собственных функций принадлежат одному и тому же собственному значению. Суммирование в (5.10) и (5.11) производится по всем собственным функциям, включая каждую собственную функцию, собственное значение которой Et равно Ек. Поэтому эта сумма может быть составлена только в том случае, если (фг, Vtfc) обращается в нуль для всех собственных функций с собственным значением El = Etf.
