Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 19

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 176 >> Следующая


В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что из вырожденных собственных функций каким-либо образом выбран некоторый ортогональный набор. Тогда все собственные функции и собственные дифференциалы образуют ортогональную систему. Если ф и <!/ являются двумя различными произвольными функциями этой системы, то

(ф, ф')=0 (4.12)

и

(ф. ф)=1. (4.12а)

Эта ортогональная система является также полной, если только непрерывный спектр разделен на достаточно тонкие участки (т. е. Д достаточно мало). Другими словами, каждую функцию (p(Xj, ..., Х;), для которой сходится интеграл (ср, ср), можно разложить в ряд

~<р = 2*.Ф*+2*(?. Д)ф(?. ?+Д). (4.13)

х Е

где индекс х пробегает все дискретные собственные значения, и Е пробегает значение от нижней границы по всем собственным дифференциалам. Это разложение в ряд справедливо, в действительности, только для бесконечно малых Д; поэтому вторая сумма должна быть заменена интегралом

(4.13а)
52

Глава 4

где интегрирование производится по всей области непрерывного спектра. Если собственному значению непрерывного спектра принадлежат несколько линейно независимых собственных функций, то в (4.13а) будет несколько интегралов или даже — если число этих собственных функций бесконечно — один или более двойных или многократных интегралов. С другой стороны, если в рассматриваемой задаче нет непрерывного спектра, второй член в (4.13) и интеграл в (4.13а) опускаются. Составляя скалярное произведение функции ф* с (4.13), находим, что коэффициент gx дается выражением

(Ф*. ?) = ?*• (4-14)

Аналогичным образом,

(<]>(?, ? + Д), <?) = g(E, Д). (4.14а)

В формальных расчетах непрерывный спектр часто опускается, и вычисления производятся так, как если бы существовал только дискретный спектр. Ясно, к какому изменению приводит существование непрерывного спектра: к суммам добавляются члены с интегралами.

Изложение в этой главе — особенно для случая непрерывного спзктра—не является строгим. Строгая теория собственных значений для произвольных эрмитовых операторов была создана!) незадо: го до написания первого (немецкого) издания настоящей книги. Мы резюмировали здесь лишь некоторую часть ее результатов. Строгая теория весьма сложна. Однако она может быть использована почти без изменений в изложенной здесь форме2).

*) J. V. Neumann, Math. Ann., 102, 49 (1924).

2) Теория спектрального разложения эрмитовых (точнее, „самосопряженных") операторов дана в книге: М. Н. S t о n е, Linear Transformations in Hilbert Space, New York, 1932. Несколько более краткое изложение содержится в книге: F. Riesz, В. Sz-Nagy, Functional Analysis, New York, 1955.
Глава б

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

1. Часто случается, что собственные значения и собственные функции определенной задачи известны, и нужно найти собственные значения и функции для близкой задачи, оператор энергии которой относительно мало, „возмущением", отличается от оператора энергии решенной задачи. Теория возмущений имеет дело с методами решения задач такого рода. Один вариант теории возмущений был развит в матричной теории Борном, Гейзенбергом и Йорданом; в дальнейшем изложении мы, однако, будем следовать методу Релея — Шредингера.

Будем вести вычисления, как если бы система не имела непрерывного спектра, и примем, что возмущенная система также имеет лишь чисто точечный спектр. Некоторые усложнения, вызываемые наличием непрерывного спектра, будут обсуждаться в конце главы; сначала же теория излагается в простейшей форме.

Рассмотрим эрмитов оператор Н с собственными значениями Е j, Е2, . .. и собственными функциями фр ф2,

НФ* = ?*Ф*. (5-1)

Требуется определить собственные значения F и собственные функции ср оператора H + XV, где V также эрмитов и X— малое число:

(H + XV)<p* = F*<p*. (5.2)

Прежде всего разложим F и ср в степенной ряд по X, ограничиваясь лишь членами не выше второй степени по X:

Fk = Ek -)- \Ek -)- -)- .... (5.3a)

cpA = фй -j~ Цк + Х2ф* + ... = фй -)- x 2 Д«Фг + 2 bk$i ....

1 1 (5.36)

В (5.3a) и (5.36) предполагается, что Fk и cpft переходят в Ек и фА при Х = 0; аналогично, ф' и ф" разлагаются в ряд по функциям ф (как это обсуждалось в предыдущей главе) с коэффициентами akl и bbl.
54

Глава 5

Подставим (5.3а) и (5.36) в (5.2) и получим

Н [^ф* + X 2 ak$i + ^-2 2 bk$tJ + W ^ф* + X 2 akihj =

= (Ek -|- lEk + \2Ek) ^ + X 2 ak$i + 2 (5.4)

Коэффициенты при одинаковых степенях X в обеих частях (5.4) должны быть равны. Члены, не содержащие X, сокращаются в силу (5.1). Равенство коэффициентов при X и X2 дает
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed