Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
— ОО
Xt(^i........xf))*g(x........x^dxj ... й?х/ = (Уср. g). (4.9a)
Оператор (h/i)(djdxk) также эрмитов. Путем интегрирования по частям получаем
ОО
(*• Т аЫ = / ‘ *(Xl’ -’xfT7lkg(Xl..........xfydx' -
—oo
oo
= /..............................xf))* g(x ........xf)dxx...dxf =
—oo
<4Л0>
поскольку ф обращается в нуль при xk = + оо и г* = — /. Поэтому его квадрат — h2d2jdx2k тоже эрмитов, что может быть показано двукратным интегрированием по частям. Тогда все слагаемые оператора Н эрмитовы, так что сам Н эрмитов.
Известно, что уравнение для ф
Нф = ?ф
имеет неисчезаюшие квадратично интегрируемые решения только при определенных значениях Е. Значения, для которых такие решения существуют, называются собственными значениями; совокупность всех этих собственных значений называется спектром оператора Н.
Все собственные значения эрмитова оператора вещественны. Если Н§е = Ще> то скалярное произведение с ф? равно
(Фг. Нф?) = (ф?, ЩЕ) = Е (ф?. ф?). (4.11)
Но в (4.11) (ф?, Нф?) = (Нф?, ф?) = (ф?, Нф?)*. Тогда, поскольку (ф?, ф?) вещественно, Е также должно быть вещественным.
Эрмитов оператор может иметь как дискретный, так и непрерывный спектры. Собственные значения дискретного спектра являются дискретными числами (число их может быть конечным или бесконечным счетным); соответствующие собственные функции могут быть нормированы [в нашем случае это означает, что интеграл от квадрата ф?, т. е. (ф?, ф?), конечен], и в дальнейшем
50
Глава 4
будем предполагать, что они уже нормированы. Собственные функции различаются друг от друга индексами: ф?, ф^.............Обычно
дискретные собственные значения охватывают наиболее интересную часть спектра. Там, где мы до сих пор говорили просто о „собственных значениях", мы имели в виду дискретные собственные значения.
Решение уравнения для собственных значений, принадлежащее непрерывному спектру фСх^ х2...........Хр Е), не обладает конеч-
ным интегралом от квадрата ф. Поэтому можно думать, что оно вовсе не принадлежит спектру. Однако, если мы составим так называемый „собственный дифференциал"
?4 д
J <]>(xlt х2, ..., xf, E)dE = ty(xx, х2......xf\ Е, ? + Д), (4.Е.З)
?
это решение становится квадратично интегрируемым, так что может быть нормировано. Это не имело бы места, если Е в действительности не принадлежало бы к спектру. Собственный дифференциал (4.Е.З) принадлежит интервалу между Е и f + Д. Это показывает, что непрерывный спектр состоит не из точек, а из непрерывных областей. Решения <j>(Xj, х2.......Хр Е) уравнения для
собственных значений называются собственными функциями непрерывного спектра, хотя они и не могут быть нормированы. Они зависят от собственного значения Е непрерывным образом; мы обычно вводим Е как переменную, а не как индекс для различения разных собственных функций непрерывного спектра. Если непрерывный спектр разделить на определенные малые области длины Д, то для каждой из них можно определить собственный дифференциал, который (после нормировки) предполагает свойства, все более и более сходные со свойствами собственных функций дискретного спектра, коль скоро Д становится все меньше и меньше.
Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям дискретного спектра, ортогональны друг другу. Для доказательства заметим, что из Нф? = ?'ф? следует, что
(V нФ?) = (V ЩЕ). (t%, Ф?) = Е (V ф?).
Аналогично, из Нф^ — Fi/p с учетом вещественности собственных значений имеем
(Нф^, ф?) = (Рф,. Ф?) = ^(Ф^. Ф?) = F (Ф/г. Ф?>
Вычитая, мы видим, что (ф?, ф^) должно равняться нулю при E+F. Дискретные собственные функции ортогональны также всем собственным дифференциалам, и собственные дифференциалы орто-
Элементы квантовой механики
51
гональны друг другу, если только области, которым они принадлежат, не перекрываются.
Одному и тому же собственному значению, например, дискретного спектра может принадлежать более чем одна линейно независимая собственная функция. Если это имеет место, собственное значение называется „вырожденным". Любая возможная линейная комбинация собственных функций в случае вырождения также является собственной функцией, принадлежащей тому же самому собственному значению. Из линейного набора собственных функций можно выбрать линейно независимый набор; тогда все собственные функции рассматриваемого собственного значения можно выразить в виде линейных комбинаций собственных функций этого линейно независимого набора. Этот набор можно ортогонализовать, например, с помощью метода Шмидта. Разумеется, процесс выбора остается произвольным; ясно, что метод Шмидта может дать много различных ортогональных систем в зависимости от порядка, в котором берутся собственные функции. Однако в настоящий момент это для нас не существенно.
