Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты повторной связи, или бу'-символы, используемые в тексте, связаны с коэффициентами W Ракй следующим образом:
W(jxW,\ Уз*3) = (-1)',+',+,,+,,{'//‘ ? ?}• (АЛ4)
Приложение Б
СВОДКА ФОРМУЛ
Теория возмущений
Vik = (b> VU (5.8)
/%=?*+(бЛ0)
(5.Ц)
1фк
Теория групп
Символ 2 означает суммирование по всем элементам группы R
для конечных групп; для непрерывных групп он означает интеграл Гурвица
%lJR = '2iJSR. (7.1), (10.5)
R R
Соотношения ортогональности для унитарных неприводимых представлений группы порядка h имеют вид
(/??.,* DU) (KV, = -j- SГ A>Vv. (9.32)
где lj — размерность представления D(^. Для характеров y(i)(R) =
= 2 имеем
и-
Яхи">№ГхиЧЮ = 1Лп. (9.33)
R
Для непрерывных групп ^ = ^1 заменяется на J dR [соотношения (10.12), (10.13)]. R
Сводка формул
429
Представления и собственные функции
Из
Р*/(*Г Х2........Xn) = f{XV Х2.........Хп)’ (11.19)
где х. и x'j связаны вещественным ортогональным преобразованием R
х) = 2 Rnxi или xi — '2iRjix]> (11.18)
i J J
следует, что
Ps^=PsPfl. (11.20)
Также из
Р*Ф, = 2Я(Я)„ФХ (11-23)
X
и PsPr = Psr следует
D (SR) = D (5) D (R). (11.25)
Наконец, из следует
(/<«. «У'») =" -К- S *Л' (12.8)
Неприводимые представления трехмерной группы вращений
430
Приложение Б
Представление !?)(^ X содержит один и только один раз каждое из представлений где
L = \1 —7|, \1— /} + 1, . . / + Г— 1, 1 + Т, (17.14)
1+1
ъ{1Чт^ъ{1)№\,= 2 4'?v'®(i)(4'+v':„+vC (17Л66)
L = U-l\
м7) _ (—V(2Z. -f- 1)! (/ + Г— L)\ x
Iv-L-v. Y(L-^l+l+\)\(L + l-l)\(L-l + T)\
V
X у V + m+L-»', (17.276)
^ 17 (/ — f1)! (^ — ? + M-)!
2 s'/') №.
•“ L, ij., m-|j. I, |i',
<17.28)
m-p.'
№
Теория спина Паули 0?Ф(-*1. У1. *1. S1........хп> Уп> Zn. =
= 2 ••• 2 s>(Vj)(tf)i i ... /,=±i *=±1
.. 5D(’w(/?)i f . Ф(*,.У,. г,, f,....................yn. U (21-66)
7Г о
2 п* 2 n
Or = PrOlr = OlrPr’
(21.8)
Неприводимые тензоры
Or1t{9)Or= 2 ®(e)(/?vTw.
tT = — 0)
T$jv-; N'J'V.' = 5У'Р.Р^Р- + Р| H-' TNj\N'j' Здесь равны нулю, если
\J — u\>j' или
(21.166)
(21.18)
(21.19)
Сводка формул
431
Бесконечно малые вращения
Оператор бесконечно малых вращений декартовых координат имеет вид
(18J)
для спиновых координат
l(Sl + S2+ ... = = Q{aoo}^L=0: (23.23а)
а для всех координат одновременно
\ (Ц + S.) = — t ^ О{а00} [_о • (23.30а)
Зу-символы
1. Соотношение между Зу-символами и коэффициентами векторного сложения:
Л Л Л \ _ (-1 )Л-Л-т,
тх т2 т3}~ Y^h+X ^4>9а>
2. Симметрия ЗУ-символов:
(-1)
/«! т2 т3/ \ тх т3 т2
Уз Л Л \ = / Л Л Л
m3 т2 тх) \ т2 тх т3
Л h h \( Л Уз Л \___/ Л Л Л
/«! т2 т3 J \ т2 т3 тх) \ т3 тх т2
(24.10)
(24.10а)
7l ^ Уз ) = (—1)Л+Л+Л(,‘уГ1 ^ Уз ). (24.106)
— тх — т2 — т3 J \т1 т2 т3)
бу-символы
1. Связь с Зу-символами:
(W) «М = (-1 )”* 2 (2У + 1) {? ^ \} (Л V) WX
* (24.24а)
(У1/2./3) (/iy2/3.) (/1./2У3) = {^ ^ ^}(ЛЛЛ) (24.246)
432
Приложение Б
(относительно использованных здесь ковариантных обозначений см. гл. 24).
2. Рассмотрим а-ю компоненту Т* неприводимого тензора ранга р по отношению к декартовым координатам и ранга 0 (скаляр) по отношению к спиновым координатам. Оператор Т" является тогда неприводимым тензором ранга ш = р по отношению к вращениям всех координат. Для такого оператора другой возможной формой соотношения (21.19) является
