Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Н = — й2
________1 д2
2/ttj дх\ 2т2 дх\
2mf dx2j )
х2........ху). (4.56)
(4.6)
ОО
(?• a1g1-l-a2g2) = a1(<p. gl)-ha2(f, g2)
И
Op. g) = (g> ?)*•
Элементы квантовой механики
47
Скалярное произведение (ср, ср) вещественно и положительно; оно обращается в нуль только при ср=0. Если (ср, <р) = 1, то ср называется нормированной. Если интеграл
ОО
(?• ?) = / ••• / •••• xf)?dx\ dXj = с2
— СО
конечен, то ср всегда может быть нормирована путем умножения на некоторую постоянную [1/с в вышеуказанном случае, так как (ср/с, ср/с) = 1]. Две функции ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение, определяемое формулой (4.7), составлено исходя из соображений, что функции ? (л:,, ..Xf), ?(.*), ..X/) от координат хи х2,..., X/ рассматриваются как векторы, компоненты которых пронумерованы (размечены) непрерывными индексами. Функциональный вектор ^(л:,,..., Xf) определен в /-кратно бесконечномерном пространстве. Каждый набор значений переменных xv..., Xf, т. е. каждая конфигурация соответствует одному измерению. Тогда скалярное произведение 9 и g на векторном языке равно
(?¦?)= 2 ?(хи .... xf)*g(xu xf),
Хи ..., xf
' что заменяется интегралом (4.7).
Определение линейной зависимости или независимости функций также соответствует понятиям, выведенным из обсуждения векторов. Линейное соотношение
«1?! + а2^2 + • • • + аЛ = °
между функциями tpr <р2........<pk имеет место, если это уравнение спра-
ведливо для всех компонент векторов, т. е. для всех наборов значений хх, .... Xf, при заданных постоянных аи а?, аДалее, оператор Н называется линейным, если соотношение
Н (fl<p-f- bg) — aHtp + 6Hg (4.8)
справедливо для всех функций tp и g. Вообще мы будем иметь дело лишь с линейными операторами. Линейные операторы для функций-векторов соответствуют матрицам для обычных векторов. И те и другие преобразуют векторы, к которым они применяются, в другие векторы. Условие линейности (4.8) справедливо для всех матриц. Мы видели, что всякий оператор, который можно применить к конечномерному вектору, эквивалентен матрице '). Бесконечномерные операторы также имеют матричную форму, но она часто сильно сингулярна.
Например, элементы матрицы q„ соответствующей оператору „умножения на xt“, равны
Ы ,, , = *,» ,Ь , ...Ь ,. (4.Е.1)
*1*2 ¦¦¦хг х\хч •••¦*> х\х\ -У2 xfxf
>) См. гл. 1, стр. 11,
48
Глава 4
Она преобразует вектор ^ в вектор с компонентами ЧГН-*1.-*2....л:/)= 2 (4i) ' j */{*[> ¦¦¦• x'f) =
= , 2 w......*/) =*1+ (*!• -•*/)•
X\ ¦¦¦ xf
Этим вектором является как раз функция л:^, в которую ф превращается операцией „умножения на atj".
Матрица, соответствующая оператору „дифференцирования по Х\“, обозначается через (i/h) pi, поскольку (п/l) (д/дх^ соответствует pt:
(iPl)
= lira |г j
^ \Х1+2*’Х1 xrj*’xi)x2x2 XfXf
(4.К.2)
Она преобразует вектор ^ в
¦ - д^° V *1+тЛ* *i *1“Л* / v2 V/
*1-Х/ 4 1 JJ
= д1^о^['К'*1’^"5'Л’л:2”"’ xf)~ Ч*1 — ТЛ’ Хг'---> */)]>
а это и есть производная ф по xt.
Говорят, что оператор Н эрмитов, если Н = Н+, т. е. если
(v, Ни») = (Н+г>, та>) = (Ни, w)
для произвольных векторов кии». Другими словами, оператор Н эрмитов, если он может быть перенесен с одного сомножителя скалярного произведения на другой. Эрмитова природа операторов определяется этим требованием.
Оператор Н эрмитов, если для всех функций ср, g, удовлетворяющих определенным условиям (например, квадратичной интегрируемости, из которой следует, что функция обращается в нуль на бесконечности), имеет место равенство
OP. HgO = (H<p, g). (4.9)
Суммы эрмитовых операторов и произведения последних на вещественные величины снова линейны и эрмитовы. То же справедливо для их степеней, обратных операторов и т. д.
Оператор Гамильтона (4.56) эрмитов. Чтобы показать это, заметим прежде всего, что умножение на вещественную функцию
Элементы квантовой механики
49
V (Xj, х2, .. ., х}) приводит к эрмитовому выражению
ОО
(ъ VS) = J •••/'P(*i..........xfyv(xl.........xf) X
—ОО
оо
.....Xf)dxl ... dxf= / • • • /(VCJfj..........xf)X
