Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
= arccos — ,
г ’ (А.1)
у
Ф = arcsin .
2. Вращения
Вращение R определяется углами Эйлера [а, (3, f}. Каждому вращению сопоставляется оператор Р*. который а) вращает поле вокруг оси Z на угол а, б) вращает поле вокруг оси V на угол р и в) вращает поле вокруг оси Z на угол f. Оси координат остаются фиксированными при этих вращениях поля. С каждым вращением связано также преобразование координат, представляемое матрицей R^, которая а) осуществляет вращение координат вокруг оси Z на угол f, б) вращение координат вокруг новой оси V на угол р и в) вращение координат вокруг новой оси Z на угол а. Таким образом1),
Rff = R{a3T> =
(cos a sin а 0\ /cos(3 0 —sin / cosf sin f 0\
— sin a cos a 0 JI 0 1 0 JI — sin f cos f 0 j. (A.2)
0 0 1/Vsinp 0 cosf / \ 0 0 1/
Вращение системы координат посредством физически полностью эквивалентно обратному вращению поля посредством
Р{«Рг>-1=Р{--т.А---«>: ИНЗЧе ГОВОрЯ-
/(R/?T) = (PJ?-,/)(r)i (А. 3)
где запись (P^-i/) подчеркивает то обстоятельство, что оператор Р дает новую функцию координат г. Пусть
p*-i/(o=m (А. 4)
>) См. соотношения от (15.14а) до (15.15) в основном тексте книги.
426
Приложение А
Тогда f (r) = PRg(r), и (А. 3) принимает вид соотношения (11.19), которое было использовано для определения ') оператора Р#:
Ppg(r') = g(T).
/ г. (А. 5)
г' = R *г.
Заметим здесь для связи с дальнейшим, что, согласно (А. 2), матрица R^, р, у} переводит точку (0, 0, zx) с полярными координатами (г = zx, 0 = 0, ср = 0) в точку (ху', г') с полярными координатами (r' = z1, 0' = р, ср' = те— а).
3. Представления группы вращений и сферические гармоники
Соотношение (П.23) и (П.26) определяет матрицу представления посредством оператора Рд и функций-партнеров фхС^. Ур
*1.....Хп’ Уп> гпУ-
УУ *1......-V Уп> Zn) =
= 20№»i(^, yi. ...............х„, уп, г„) (А. 6)
X
или, что равносильно,
t(x'r y'v Z[.....К’ Уп’ z'n) =
= JID(RXJx(xv yv Zl...........Xn, yn, ZB), (A. 7)
X
где
ri ~ ^Rrr
Для случая группы вращений функциями-партнерами являются сферические гармоники Yhm(b, ср), где—/<;/я <!-)-/, а матрица представления есть 55(г) (R)km. Тогда, согласно (А. 6),
Г,.ж(0'. «Р)- (А-8)
k
Это соотношение определяет сферические гармоники для всех 0' и ср' через их значения при 0 = 0, ср = 0 и через 55*^:
у и т (9. Т) = 2 Ф(,) та* У и (0 = 0, ср = 0). (А. 9)
k
Здесь R должно быть вращением, матрица которого переводит точку на оси Z на расстоянии г от начала в точку с полярными коор-
¦) При вычислении произведений вида PsP^/(x) следует рассматривать операторы в порядке слева направо, как указано в гл. 11. Только этим путем можно обеспечить равенство PsP? = Ps? (см. гл. 11, стр. 128).
Обозначения и определения
427
динатами г, 0, ср. Как мы заметили в предыдущем разделе настоящего Приложения, этим вращением является /?= {те — ср, —|— 0. +f}. В гл. 15 было показано, что только Кг>0 не равно нулю в точке в = ср = 0. Поэтому равенство (А. 9) есть просто
Г|.*(в. ?) = S>W({*-?, +9. +T});oV9 = 0-'P = °)' (А-10)
В соответствии с определением в книге Кондона и Шортли примем, что Кго(0, 0) вещественно и положительно; тогда
Кг,т(0, ср) = (const) • (—1)те‘тЧ{1) (д)т0. (А. 11)
Это соотношение между сферическими гармониками и коэффициентами представлений было установлено в соотношении (19.86). Данное здесь определение сферических гармоник совпадает с определением Кондона и Шортли.
4. Коэффициенты векторного сложения
Как упоминалось в гл. 17, матрица S<lm-v.-, = sil^bm^+v не определяется полностью требованием, чтобы она приводила к тем
линейным комбинациям произведений ЧГ^ЧГ^, которые принадлежат (jjl —vj-й строке представления Равенство (17.21) указы-
вает выбор, при котором коэффициенты векторного сложения являются однозначными:
s??-i=k;J-r|>°- (А-12)
В этом выборе Кондон и Шортли, а также Ракй, Роуз и Эдмондс (см. цитированные выше работы и монографии этих авторов) следуют Вигнеру.
ЗУ-символы, использованные в гл. 24, выражаются через коэффициенты векторного сложения следующим образом:
/Л Л Уз\= (-ЦА-Л-1* uj,) 8
\ml tn2 т3/ У2/з -f- 1 т1+т2+т„ о1
5. Коэффициенты Рак& и 6У-символы