Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 15

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 176 >> Следующая


с числами X], Хг....Х„. Отсюда следует, что комплексные соб-

ственные значения вещественной ортогональной’матрицы V встречаются комплексно-сопряженными парами. Кроме того, так

Т

как VV =1, они все по абсолютной величине равны 1; вещественные собственные значения поэтому равны il. В матрицах нечетной размерности по крайней мере одно собственное значение должно быть вещественным.

Если v есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению X, то V* есть собственный вектор, принадлежащий комплексно-сопряженному собственному значению X*. Чтобы показать

4) Как уже показывает соотношение (З.Е.2).
42

Глава 3

это, запишем V® = Xz>; тогда VV= XV = \v*. Кроме того, если к* отлично от X, то (v*, v) = 0 = ((v, v)); простое скалярное произведение собственного вектора на самого себя обращается в нуль, если соответствующее собственное значение не является вещественным (не ±1). Наоборот, вещественные собственные векторы (для которых простое скалярное произведение не обращается в нуль) соответствуют собственным значениям ±1. Кроме того, пусть v есть собственный вектор для Х1( v* — для X! и z — для Xj. Тогда, если Xj Ф Xj, получаем

О = (*>*, *) = ((*, Z)).

Простое скалярное произведение двух собственных векторов вещественной ортогональной матрицы всегда равно нулю, кроме случая, когда соответствующие собственные значения являются комплексно-сопряженными-, когда собственные значения ком-плексно-сопряженны, соответствующие собственные векторы сами являются комплексно-сопряженными.

Определитель ортогональной матрицы равен ±1. Чтобы показать это, рассмотрим VV =1; отсюда следует, что определитель матрицы V, умноженный на определитель \Г, должен дать 1. Однако определитель матрицы V равен определителю Vrs так что каждый из них должен быть равен -|-1 или —1.

Если матрица Н вещественна, система (3.5) вещественна, так как все ХЛ вещественны. Собственные векторы вещественной эрмитовой матрицы можно считать вещественными. (Поскольку они определяются только с точностью до постоянного множителя, они могут быть также умножены на комплексный множитель.) Таким образом, унитарная матрица U в произведении и _1ни = может считаться вещественной.
Глава 4

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

1. До 1925 г. развитие квантовой механики было направлено главным образом на определение энергий стационарных состояний, т. е. на вычисление энергетических уровней. Более старая „теория разделения" Эпштейна — Шварцшильда давала рецепты для определения уровней энергии, или термов, лишь для систем, движение которых с точки зрения классической механики имело очень частные свойства, а именно было периодическим или по крайней мере почти периодическим.

Гейзенберг, пытавшийся дать точную формулировку принципа соответствия Бора, высказал соображения относительно устранения этого недостатка. Решение было предложено независимо Борном и Йорданом, с одной стороны, и Дираком — с другой. Его сущность заключается в требовании, чтобы в вычислениях появлялись лишь те движения, которые позднее стали рассматриваться как разрешенные с квантовомеханической точки зрения. Проведение этой идеи привело авторов к введению матриц с бесконечным числом строк и столбцов для формального представления координат и импульсов и к формальным вычислениям с „^-числами", удовлетворяющими сочетательному, но не перестановочному законам.

Так, например, выражение для энергии Н линейного осциллятора

H = srP!+y4! <4Л>

(где т— масса осциллирующей частицы, К — постоянный коэффициент, характеризующий силу, a q и р — координата и импульс частицы) получается формальной подстановкой матриц р и q вместо импульса р и координаты q в гамильтоновой формулировке классического выражения для энергии. Выдвигается требование, чтобы Н была диагональной матрицей. Диагональные элементы Ндд дают тогда возможные значения энергии, стационарные уровни системы. С другой стороны, квадраты абсолютных значений элементов qnb матрицы q пропорциональны вероятности спонтанного перехода из состояния с энергией Н„„ в состояние с энергией
44

Глава 4

Они дают, тем самым, интенсивность линии с частотой ш = №пп — Н**)/Л- Все это следует из тех же рассуждений, с помощью которых вводятся матрицы р и q.

Чтобы полностью уточнить задачу, следовало ввести „перестановочное соотношение” между р и q. Предполагалось, что оно имеет вид

pq — qp = yt. (4.2)

где h — постоянная Планка, деленная на 2гс.

Вычисления с этими величинами (зачастую весьма утомительные) быстро привели к прекрасным и важным результатам, имеющим глубокий смысл. Таким путем стало возможным вычислить в согласии с опытом „правила отбора” для момента количества движения и ряд „правил сумм", определяющих относительные интенсивности зеемановских компонент линии. Для получения этих результатов „теории разделения" было совершенно недостаточно.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed