Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Bft Sjy Vfcy-f-s AzVft~i
(23.26)
где Укх, Vfty, Укг—бесспиновые операторы. Так как Bft должен быть скаляром по отношению к Оя и так как skx, sky, skz являются компонентами векторного оператора, операторы Укх, Vfty, Укг также должны быть компонентами векторного оператора.
Вместо отношений всех матричных элементов оператора В
которые мы хотим вычислить, можно просто вычислить это отношение для одного Bft — эти отношения одинаковы для всех k. Кроме того, skxykx, sftVVftv, являю’гся хх-, уу- и zz-коы-
понентами тензора, который удовлетворяет соотношениям (23.13а) и (23.136) и является вектором в обоих смыслах (p = q= 1). Поэтому отношение любых двух из выражений
одинаково для всех аналогичных тензоров, причем это верно таюке и для отношений этих выражений к аналогичным выражениям, в которых J заменено на J'.
То же самое справедливо для суммы трех приведенных выражений (23.27), так что достаточно вычислить отношения матричных элементов
при различных J, где Т — произвольный оператор, векторный в обоих смыслах. Естественно, эти операторы будут выбраны так, чтобы вычисление выражения (23.28) было наиболее простым. Пусть
TM = L^, 1(ху) = Lj-Sy, T(^ = L^SZ, ... (23.29)
') Всякий оператор, действующий только на k-ю спиновую координату, можно записать в виде S0 + skxVkx -f- sky Vfty + skzWkz, где S0, Vkx, V*y и V*z являются бесспиновыми операторами. В выражение для В* член S0 не входит. Однако, даже если бы он входил, он должен быть скаляром по отношению как к Р^, так и к Q^. Он соответствовал бы в (23.13а) и (23.136) случаю p = q = 0 и вызывал бы, согласно (23.17), одинаковое смещение всех компонент тонкой структуры без изменения расщепления.
(23.27)
№mSU, (T(Xt) + T(vv) + Т(гг)) ^SLJ)
Тогда прежде всего
334
Глава 23
При а = 0, согласно (23.23а) и (23.236), это дает
W + S2 = -«|rO(.00>L__0. (23.30а)
Поскольку О{„00}*Р = ехр (/та) Ч", отсюда следует, что
(Ц + S = (23.31)
(U + Sz)2«-m = m2^m. (23.31а)
Таким образом, получаем
i; «s".(u+s,)!<“o= i; «i‘n‘= w(^+i>(y+i>..
m=-J m=—J
(23.32)
В этом выражении z можно заменить на х или у, так как после
суммирования по т нельзя различить оси координат. Чтобы пока-
зать это, предположим, что Од представляет вращение, переводящее ось Z в ось X. Тогда (23.32) принимает вид
S (О*- о»-. (L,+SО, • CV<“')=
т
= 2 2 ©(y)(^-%'m®(y)(^-1)m.mWiy.(b+s,)2^iy)=
m m'm”
- 2 (U+S,)2<?iy) =
m'm"
= 2«siy. (U+s,)2wry).
m
Следовательно,
2«siy, [(L, + S,)2 + (LV + SV)2 + (U + SZ)2] <siy) =
m
= A2J(J+1)(2J+ 1). (23.33)
Но, поскольку (Lj: + SJ2 + (Lv + S>,)2 + (U + Sz)2 есть скаляр,
т. e. оператор, симметричный относительно О#, все 2J —f- 1 чле-
нов в левой части (23.33) одинаковы и равны
W5iy. [(L, + S,)2 + (LV + SV)2 + (U + S*)21 <si/) =
= h2J(J-{- 1). (23.33a)
Для орбитального момента количества движения из
L XSi = ^si (23.34)
аналогичным образом следует, что
(Е?“. (L2 + L2 + L2) E^si) = h2L (L + l). (23.35)
Правила отбора и правила интенсивностей при учете бпина 335
Тогда из (23.11) и соотношений ортогональности (17.28) следует,
ЧТО
(KSU, (li + Ly + ij) KSlJ) = h2L(L +1), (23.35a)
так как l*+l*+ij является скаляром в обоих смыслах. Аналогично для спина из соотношений
= = (а“°) (23-36)
следует/ что
Wiy. (S? + S? + S*) <Siy) = b2s (5+1). (23.36a)
Вычитая (23.35a) и (23.36a) из (23.33a), получаем
«siy, (L,S, + LVSV + L,8,) <Si0 “
= -i-A2[i(i+l) — L(L+l) —5(5+1)]. (23.37)
Согласно предыдущему, сдвиги компонент тонкой структуры одного и того же уровня основной структуры пропорциональны матричным элементам (23.37):
AE?sl = eNSL [7(7+ 1) - L (L + 1) - 5 (5 + 1)]. (23.37a)
Поэтому разность между смещениями уровней двух последовательных компонент тонкой структуры
bEffi-bEl!SL = 2*NSL(J+l) (23.376)
пропорциональна большему из двух квантовых чисел полного момента. Это и есть правило интервалов Ланде.
Правило интервалов Ланде справедливо только в случае нормальной связи, т. е. в случае, когда расщепление тонкой структуры мало по сравнению с расстояниями между уровнями основной структуры. Кроме того, оно подразумевает предположение о том, что взаимодействиями между спиновыми магнитными моментами можно пренебречь. Как показал Гейзенберг1), это предположение не оправдывается для всех легких элементов, особенно для Не. Поэтому правило интервалов лучше всего выполняется
