Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
3. Скалярное произведение линейно по второму сомножителю, так как
(а, ЬЬ-\- сс) = Ь(а, Ь)-\-с(а, с). (3.12)
Однако оно „антилинейно" по первому сомножителю:
(аа + ЬЬ, с) = а* (а, с) + Ь* ф, с). (3.12а)
4. Далее, для произвольных векторов а и Ь и любой матрицы а имеет место важное правило, что
(а, ab) = (afa, b) или фа, b) = (a, ^b). (3,13)
Чтобы показать это, запишем
(а, яЬ) = 2 (*&)*= 2 в; 2
И
ft = l ft=l *Ъ=1
(в+в. ь) = 2 (*+а)‘ ^=22 («W ^=22 а»в*А
Х=1 X=lft=l X=lft=l
Вместо применения матрицы я к одному сомножителю скалярного произведения, ее эрмитово-сопряженную «+ можно применять к другому сомножителю.
Для простого скалярного произведения то же правило справедливо для транспонированных матриц, т. е.
((a, ab) ) = ( (&Та, &)).
5. Выпишем теперь условие U+ = U-1 унитарности матрицы в несколько более явном виде: из U+U = 1 следует, что
2(и+)у Uik = 2 и*1,и,к=*Ъм (?/.,, U.k) = bik. (3.14)
) = 1 /= 1
Если рассматривать п столбцов унитарной матрицы как векторы, они составляют п ортогональных единичных векторов. Аналогичным образом, из UU+= 1 следует, что
2 UijUl] = St*. (Vk., Ui.) = bik. (3,14a)
J
n строк унитарной матрицы также образуют п единичных векторов, которые взаимно ортогональны.
Преобразование к главным осям
37
6. Унитарное преобразование оставляет эрмитово-скалярное произведение неизменным; иными словами, для произвольных векторов а и Ь
(Ua, U6) = (a, U+U&) = (а, Ь). (3.15)
Наоборот, если соотношение (3.15) справедливо для некоторой матрицы U и для каждой пары произвольных векторов а и Ь, то U унитарна, поскольку тогда соотношение (3.15) справедливо также для а = еь и b = ek, где (ek)l = bkt. В этом специальр^ом случае (3.15) принимает вид
8,* = (fit, ek) = (U*„ Mek) = 2 (U*,); (Mek) =
j
«=2 (2 Ujh] • 2 Ujhi = 2 UjiUjk.
что совпадает с равенством (3.14). Таким образом, (3.15) есть необходимое и достаточное условие унитарности U.
То же правило применимо к комплексно ортогональным матрицам относительно простого скалярного произведения.
7. Произведение UV двух унитарных матриц U и V унитарно:
(UV)+ = V+U+ = V_1U_1*=(UV)_1. (3.16)
Матрица U-1, обратная унитарной, также унитарна:
(U_1)+ = (U+)+ = U = (U_1)_1. (3.17)
Преобразование к главным осям для унитарных и эрмитовых матриц
Всякая унитарная матрица V и всякая эрмитова матрица Н могут быть приведены к диагональному виду с помощью унитарной матрицы U. Для таких матриц не может встретиться исключительный случай, упомянутый на стр. 32. Прежде всего отметим, что унитарная (или эрмитова) матрица остается унитарной (или эрмитовой) после унитарного преобразования. Будучи произведением трех унитарных матриц, U-1VU само унитарно. Матрица U_1HU также эрмитова, если только И эрмитова, поскольку, согласно (3.17),
(и- 1HU)+ = U+HIT1+ = U+HU = irW (3.18)
Чтобы привести V или Н к диагональному виду, определим некоторое собственное значение V или Н. Пусть оно равно \'t
38
Глава 3
соответствующий собственный вектор U.\ = (Uu............Un 1) опреде-
ляется только с точностью до постоянного множителя. Выберем этот постоянный множитель так, чтобы
(U.ь и. 0=1.
Это всегда возможно, так как (U.U.{) никогда не может обратиться в нуль. Построим теперь унитарную матрицу U, первым столбцом которой будет U.i1). С помощью этой унитарной матрицы мы преобразуем соответственно V и Н в U_1VU и U-1HU. Например, U_1VU имеет первый столбец
А-г1 = (1гЧоОг1 = (и+уи)г1==2 = 2 и:т\хиЛ=ьпк
V {J. V
Поскольку U.j уже является собственным вектором матрицы V, Мы видим, что Xj появляется в первой строке первого столбца, и что все остальные элементы первого столбца равны нулю.
Это верно, очевидно, не только для U-1VU, но и для и-1ни. Так как матрица U-1HU эрмитова, первая строка также состоит из нулей, за исключением первого элемента; таким образом, матрица
и_1ни имеет вид
0
0
0
(З.Е.1)
Но irVu должно иметь точно такой же вид! Поскольку X — унитарная матрица, ее первый столбец A’.j является единичным вектором, откуда следует, что
l*iil2+l*2il2+ ... +|*„il2=IMa=l. (3-Е.2)
То же рассуждение применимо к первой строке Х\. матрицы X, Сумма квадратов дается выражением
1*п12+1*12|2+ ...- + |*1я|2 = = 1М2 + 1*12|2+1*1з12+ ... +|*1я|2 = 1,
