Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
6. Может показаться, будто класс операторов, определенный соотношениями (23.13а) и (23.136), является весьма искусственным. Однако почти все важнейшие операторы являются компонентами тензоров или суммами компонент тензоров этого рода. В частности, все бесспиновые операторы симметричны (т. е. скаляры) по отношению к Q#, так что (23.13а) справедливо для них при ^ = 0. Поэтому под действием Рд они преобразуются точно так же, как и под действием О*, и являются скалярами, векторами и т. д. по отношению к последнему, если они являются ими в действительности.
Проверим соотношение (23.15) в нескольких простых случаях. Для бесспиновых операторов и всех операторов с q = 0 мы видим, что скалярное произведение (23.15) обращается в нуль, если S' =?S. Это соответствует выведенному ранее правилу, что матричные элементы между состояниями, принадлежащими различным мультиплет-ностям, обращаются в нуль (правило А, стр. 234). Если к тому же р — 0 (т. е. если этот оператор является скаляром по отношению к Р#, а следовательно, и по отношению к Or), то должно быть L' — L. Поскольку р = о = 0 (скаляр имеет только О-компоненту),
326
Глава 23
сумма (23.15) может быть вычислена, если воспользоваться соотношениями ортогональности для коэффициентов векторного сложения [см. (17.28)]
2s(iS) S(LS) =8 (23.16)}
У, ii, т—\1 J , ii, 1 JJ v JS
и тем обстоятельством, что s^°0> = 0=^- ^ля оператора,
являющегося скаляром в обоих смыслах (р = 0, q = 0), получаем, что матричные элементы
(?"Siy, T<:5'?,y') = 8ss-8ii'8//-W-^s?;^s'i' (23.17)
а) обращаются в нуль при J' Ф J или т' Ф т и не зависят от т при J' = J и т'= т, что является правилом для операторов, симметричных относительно О#, и б) одинаковы для всех компонент тонкой структуры некоторого уровня основной структуры независимо от J. Для этого недостаточно, чтобы оператор Т был скаляром относительно 0# = P#Q#; он должен быть скаляром относительно P# и Q# в отдельности, причем связь должна быть „нормальной".
Одним из операторов, скалярным в обоих смыслах, является, например, гамильтониан Н0 простой теории Шредингера. В этом случае
(иrNSLJ и mN'S'L'J'\ pNSLi 8 8 8 8
• M0^m' ) —c NN SS LL JJ’ mm''
где Ensl является собственным значением простого уравнения Шредингера; Ensl одинаково для всех компонент тонкой структуры, так как эта теория не дает никакого расщепления тонкой структуры.
Формулы Хёнля — Кронига для интенсивностей
Если Tf = V(p) является скаляром относительно Q# и вектором относительно P# [как, например, оператор умножения на
zff 2 +iy^’ 2 2 iXk ~~iyk)'
* k k * *
определяющий вероятности дипольных переходов], то р= 1, ^ = 0
и, согласно (23.15), мы можем написать
^NSUm; N’S'L’J'm' = %SS'%m+р, т' X
X 2 PVNSL, N'SL" (23.15a)
H-
Матричные элементы (23.15a) будут обращаться в нуль, кроме случаев, когда S' = S и L' = L или L' = L + 1 (и f = J или
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 327
У'=У± 1). Так как мы уже знаем отношение матричных элементов при различных т, т' и р [соотношение (23.9)],
V(NSLJm-, N'S'L’J'm’ — m'VNSLJ; N’S’L’J’, (23.18)
можно подставить их конкретные значения и вычислить для этих значений их отношения для различных У и У'. Формулы для s примут наиболее простой вид, если подставить m = J, m'=J' и р = т'—т = У'—У. Тогда, например, выражение (17.276) и табл. 4 на стр. 231 при L'= L—1 У'=У-1-1 приводят к следующему соотношению:
ALS) . с(?1) _
*J, и-, У-И- L-1, и-, 1
(_1)^-и-У(? + 5_7)!(27+1)1
y(/+? + S+l)!(/ + S-?)!(/-S + ?)l
ч ,ЛГ a + ^)!(S + y-(J)!y(^-[x-l)(^-[x)
(L — (J-)! (S — У + (J-)! Y2L (2L + 1)
____(—l)?~1~^+1)y'(Z. —1 +Т^7 —1)1(27 + 3)!______________
_ У(У+1 + ^-1+ S + 1)!(7+1+ S-^+l)!(7+l-S + ^-l)
ч + 1~ w
А V (Z. —(X —2)!(S —у+,а)! 74
f (L + S-J-l)(L + S-J) (J+S-L+l)(J+S-L+2)
X
X
(2У+2)(2У + 3) 2L (2Z. + 1)
— o(i-i, S) v
— J+ I. и + l, J-v. A
v/ .Г(l + S-J-l)~(L + S-J)(J+S-L+l)(J+S-L + 2)
(2У + 2) (2У + 3) 2L (2L + 1)
Пользуясь соотношением (23.16) и вышеприведенным равенством, получаем
т/(1) _VC(«) JLl) JL-1.S)
VNSLJJ, N'SL-1J+1J+1—ZisJ, 'j., J-\lsL-1, v-.lSj+l, p. + l, J-vVN'SLiNSL-1=
(L + -S-y-1) (I + S—J) (J+S-L + 1) (У -f S-L + 2)
{2J + 2){2J + Z)2L{2L + \) vnsl-, n'sl-l
для суммы матричных элементов (23.15а), Поэтому подстановка
s(J+\,J, I=1 в (23-18) ДЛЯ VNSLJ; N'S'L'J' Дает VnSLJ; N'SL -1 7+1 =
_^f(L + S-y-1) (L+S-J) (У + S-L + 1)(У +S—L + 2)
Г (2У-f- 2) (2У -f- 3) 2L (2L + 1) unsl;n'sl-v
