Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ив квадратной матрицы я можно получить новую матрицу ят, в которой строки и столбцы меняются ролями. Матрица яГ, образованная таким образом, называется транспонированной по отношению к ас, и транспозиция обозначается значком „Г*. Тогда
= (3.7)
Правило. Матрица, транспонированная по отношению к про» изведению матриц я... е, равна произведению транспонированных матриц в обратном порядке:
(ecfr • • • O'W • • • Y W-
(3.7а)
34
Глава ,9
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим отдельно левую часть последнего равенства:
(«Рт • • • S)L=(*Py • • • *),* = 2 “/.Рл* • • • v
... с
С другой стороны, правая часть равна
<¦"••• iT«0„ = 2 «ь...йк,.;,
С ... (Л*
что и доказывает (3.7а).
Матрица, образованная путем замены каждого из п2 элементов его комплексно-сопряженным, обозначается через ас* и называется комплексно-сопряженной по отношению к ас. Если ас = ас*, то все элементы матрицы вещественны.
Путем одновременной перестановки строк и столбцов и комплексного сопряжения получаем из матрицы ас матрицу ас*7' = асг*. Эта матрица называется эрмитово-сопряженной по отношению к ас и обозначается через ас+:
ас*7- = ас+ = ас7-*. (3.8)
Матрица, комплексно-сопряженная по отношению к произведению матриц, является, очевидно, произведением комплексносопряженных:
(«ру • • • ®)* — ac*P*Y* • • • е*.
При эрмитовом сопряжении произведения матриц порядок сомножителей должен быть обратным:
(a$Y • • • Е)+ = (*PY • • • ?)*Г = (**Р V • • • е*)Г =
= (/Т ... у*гр*тя*г) = е+ . .. y+P+*+. (3.8а)
Предполагая, что между матрицей ас и эрмитово-сопряженной, транспонированной и обратной ей матрицей имеют место различные соотношения, получаем специальные виды матриц. Поскольку их названия часто встречаются в литературе, мы упоминаем их все; в дальнейшем мы будем использовать лишь унитарные, эрмитовы и вещественные ортогональные матрицы.
Если ас = ас* (т. е. aik — a**), то матрицу называют вещественной, и все п2 элементов aik вещественны. Если ас=—ас* = — ajft), матрица является чисто мнимой.
Если S ~Sr(Sik = Ski). то матрица симметрична', если S = — SТ (Sik = — Ski), то она кососиммьтрична, или антисимметрична.
Преобразование к главным осям
35
Если Н = Нf(Hlk = H*kt), то матрица называется эрмитовой, если же А = — Af, то она будет косоэрмитовой, или антиэрми-товой.
Если а вещественна и симметрична одновременно, то а также эрмитова и так далее.
Если 0Г=0~\ матрица О является комплексно ортогональной. Матрица U, для которой Uf=U_1, называют унитарной матрицей. Если R+ = R_1 и R = R* (вещественна), то Rr = R*r = = R+ = R-1 и Rr = R-1; тогда матрицу R называют вещественной ортогональной, или просто ортогональной.
Унитарные матрицы и скалярное произведение
Прежде чем переходить к обсуждению унитарных матриц, нам следует ввести еще одно новое понятие. Уже в гл. 1 была определена сумма двух векторов и произведение вектора на число. Другим важным элементарным понятием является скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение вектора а на вектор Ь есть число. Мы будем различать эрмитово-скалярное произведение
аф\ -f-афч ~Ь апЬп = (#. Ь) (3.9)
и простое скалярное произведение
я А + а2Ь2 + ~ЬаЛ = ((а> (3.9а)
Всюду, где противное не оговорено особо, будем подразумевать эрмитово-скалярное произведение, а не простое скалярное произведение. Если компоненты вектора а:, а2, ..., ап вещественны, то оба скалярных произведения совпадают.
Если (а, Ь) = 0 = ф, а), то векторы а и Ь называются ортогональными друг другу. Если (а, а)=1, то а называют единичным вектором, или говорят, что он нормирован. Произведение (аа) всегда вещественно и положительно, и обращается в нуль только тогда, когда все компоненты вектора а обращаются в нуль. Это верно только для эрмитово-скалярного произведения в противоположность простому скалярному произведению. Пусть, например, а есть двумерный вектор (1, /). Тогда ((а, а)) = 0, но (а, а) = 2.
Действительно, из (а, а) = 0 следует, что а = 0, однако это не
следует из ((а, а)) = 0.
Свойства скалярного произведения:
1. При перестановке векторов в эрмитово-скалярном произведении (а, Ь) = ф, а)*, (3.10)
тогда как
((а, Ь)) = ((&, а)). (3.10а)
36
Глава 3
2. Если с есть число, то
(a, cb) = c(a, Ь) и ((а, cb)) = c((a, &)). (3.11)
С другой стороны,
(са, Ь) = с*(а, Ь), тогда как ((са, Ь)) = с((а, Ь)).
