Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Snj^n'I'h’ =(4^, 1 ) = (21.14)
с двумя собственными функциями, принадлежащими различным представлениям ?)(Л и ' или различным строкам одного и того же представления, должен обращаться в нуль. С другой стороны, если в (21.14) j = f и = то выражение (21.14) имеет один и тот же вид при всех (j,, т. е. не зависит от магнитного квантового числа.
Теперь естественно найти аналогичные формулы для векторных и тензорных операторов. Скалярный оператор был определен требованием его независимости от выбора системы осей; примером такой величины является энергия, тогда как Л'-компонента диполь-ного момента не является такой величиной. Скалярная величина соответствует одному и тому же оператору для всех наблюдателей. С другой стороны, поскольку первый наблюдатель приписывает оператор физической величине, которой второй
наблюдатель приписывает оператор S, должно иметь место соотношение
O^SO* = S, S0* = 0*S. (21.15)
Таким образом, симметричный оператор коммутирует со всеми преобразованиями.
В противоположность этому, если V*. Vy> V* являются X'-, К'-, Z'-компонентами векторного оператора, то Х-, Y-, Z-kom-
Квантовое число полного момента количества движения
289
понентами этого оператора будут ')
Оr VxOr = RxxVx + RxyVy + RxzVz,
0*Vy0* = RyxVx + RyyVy + RyzVz, (21.16)
Or'V'Or = Rzx\/x + RzyVy + RzzVz.
Таким образом, Vr, Vv. V. не преобразуются по представле-
//ЧЧ Л у &
нию Ф , как S: при преобразовании к новой системе координат они не остаются неизменными, а преобразуются с помощью матрицы вращения R. Далее, ?)(1) как представление группы вращений эквивалентно представлению матрицами R; для дальнейших вычислений вместо Х-, Y-, Z-компонент удобно пользоваться компонентами:
v(_ 1) = 1 V Ч__________— V
v У~2 х^ У"2 Vy’
v(0)= V*» (21.17)
V(1) = y _i—L_v .
V V~2 Y"2 Vy
Для этих компонент в силу (15.34) вместо (21.16) имеем
0*VP)0*= 2 $(1)(/?)P»V(,). (21.16а)
»=— 1 г
В более общем случае можно рассмотреть неприводимый тензорный оператор ранга ш, определенный условием, что его 2ш —)— 1 компонент Т(р) при вращении преобразуются следующим образом:
о*1т(р)о*= 2 ъ(т)Щ' т(,). (21.166)
О — — 0)
Если в (21.16) R заменить на R~l, то в силу = и
?>И(Я~1)(Ш = ©(Ш) (/?)*„ получим
2 ©(Ш>(/?);ТМ. (21.16в)
‘) Несмотря на сходство систем (11.18а) и (21.16), они выражают совершенно различные соотношения. Первая из них дает компоненты х' вектора во второй системе координат, выраженные через компоненты х в первой системе. Три соотношения (21.16) выражают векторы, направленные по осям X', У', Z', через векторы, имеющие направления Xt Y, Z. Коэффициенты этих двух систем совпадают, так как они образуют вещественную ортогональную матрицу. В более общем случае одна из них была бы транспонированной обратной к другой.
2СЮ
Глава 21
Из этих равенств мы найдем соотношения, аналогичные (21.14), для векторных и тензорных операт.;роз. Чтобы применить (21.16в), подействуем унитарным оператором Оя на оба сомножителя скалярного произведения:
= Т(Р)<'7'); (21Л8)
тогда получим
= (0*<у, 0*Т(р)0*0*<-т) =
=222 ?>(Л (/?>; ®(ш) (/?>; ®'л (/?>,, T'$N N4w.
V <Т V'
(21.18а)
Если аналогичную формулу для скалярных операторов проинтегрировать по всем вращениям, то соотношения ортогональности непосредственно привели бы к (21.14). Чтобы вычислить интеграл от произведения трех коэффициентов вращения, который нужен для (21.18а), запишем сначала произведение первых двух из них с помощью (17.166):
/+ о)
г L4=\J— U) 1 >Г-ГГГ
Подставляя это выражение в (21.18а) и используя при интегрировании по всем вращениям соотношения ортогональности (10.12), получаем
/ + Ш
тЙА \т1 /' f— с(/ш) ^+<j, v' V+p, ii' t(<j)
INJv-lN'J V- — Zl SLp.f jU SlJ-------------2/'4-1 ¦ TNhiN’14"
L = I / — оо | vav'
Где обе части равенства разделены на J dR. Это выражение обращается в нуль, если j' не лежит в пределах | j — ш| и у+ш; при | j — о) | -С /-С У-4-ш это выражение равно
T'nJv.'.n'J'v.' = s/VpV+p, v-’Tnjin'J', (21.19)
где Tn]-,n j' уже не зависит от р, и р ').
