Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем изложении вместо (21.11) всегда будем пользоваться соотношением
Or= ± 2 ©(Л(/?)„,„ f$\ (21.11а)
v¦'=-!
может показаться, что (21.11) вытекает из (21.11а) лишь с точностью до знака:
Ои//’ = ± 2 и(Л (иъ, /^: (21.116)
Иг
Действительно, всегда выводится именно (21.11). Кроме того, из (21.11а) следует (21.11), а не (21.116). Чтобы убедиться в том, что нижний знак в (21.116) исключается, предположим, что он верен. Тогда мы могли бы непрерывно преобразовать и в единичную матрицу. При этом обе части (21.116) изменяются непрерывно, так что всюду нужно было бы сохранять нижний знак. Но для ц=1 соотношение (21.116) с нижним знаком имеет вид
г* fU)_ Vs fU)____________ fU)
\JiJv- — — Vh-/h-'— — /и- •
и-'
что заведомо неверно, так как Oi — тождественный оператор, который должен оставлять неизменной любую функцию. Поэтому в (21.116) верным является лишь верхний знак. Следовательно, (21.11а) действительно совпадает с (21.11); мы предпочитаем пользоваться формулой (21.11а), так как в ней подчеркивается значение операции О как пространственного вращения.
Пусть далее в соотношении (21.11) u = —1. Тогда О-i отличается знаком от тождественного оператора, так как Р = Р? является положительным, а —IX—IX ••• X—1 в (21.6в) — отрицательным тождественными операторами (мы имеем дело с нечетным числом электронов). Тогда из (21.11) вытекает, что откуда, согласно гл. 15, следует, что j должно быть полуцелым. Для нечетного числа электронов волновая функция может принадлежать только нечетному представлению унитарной группы или группы операторов Ои и, следовательно,
Квантовое число полного момента количества движения
287
двузначному представлению группы вращений. Естественно, что для четного числа электронов появляются только регулярные представления группы вращений (или четные представления унитарной группы).
Усложнение с двузначными представлениями возникают вследствие того, что коэффициенты cs в (21.9) могут быть равны как —1, так и -1-1; операторы О, выражающие инвариантность описания при пространственных вращениях, не образуют группы, изоморфной группе вращений, но образуют группу, изоморфную унитарной группе.
4. В теории, учитывающей спин, оператор Гамильтона Н уравнения Шредингера Н'1г = ?'1г для энергии Е не является больше просто оператором, действующим только на декартовы координаты, как это имело место в предыдущих исследованиях. Силы, возникающие вследствие наличия магнитного момента у электрона, приводят к необходимости введения дополнительных членов, значение которых мы обсудим ниже. Хотя точный вид этих членов вызывает еще некоторые сомнения, ясно, что нельзя отдавать предпочтения какому-либо направлению в пространстве, пока нет внешнего магнитного или электрического поля; если является стационарным состоянием, то повернутое состояние или
0„4V также стационарно, причем оба они имеют одинаковую энергию. Отсюда следует, что и ОиЧ^ могут быть предста-
влены в виде линейной комбинации других собственных функций того же собственного значения:
О*4^ = 2/>(/?),„или Ou4V = 20(u),|l^- (21.12)
М V
Из OsOr = Osr или, для нечетного числа электронов, из OsOr= ± Osr (или OuOv = Ouv) можно заключить, как обычно, что
D(5)D(/?) = D(5/?), (21.13а)
или, для нечетного числа электронов,
D (S) D (R) = ± D (.SR) или D (u) D (v) = D (uv). (21.186)
Матрицы D(/?) образуют однозначное представление группы вращений для четного числа электронов и двузначное представление группы вращений (или однозначное представление унитарной группы) для нечетного числа электронов.
Так же как и в гл. 12, можно заключить, что эти представления могут рассматриваться как неприводимые *). Для четного
‘) Рассматривая собственное значение как несколько случайно совпавших собственных значений.
288
Глава 21
числа электронов D(/?) могут иметь вид ?)(0), ?)(1), 2)(2), для нечетного числа электронов они являются одним из представлений ?)(*w, 2)( 2)(5/,), ...(причем D(u) равны U(v,), U(3/J, tl™,...):
Orf « 2 ?>(Л (/?W Ч^). (21.12a)
ii'
Верхний индекс этих представлений называется квантовым числом полного момента количества движения и обозначается буквами j или У; это число является целым для четного числа электронов и полуцелым — для нечетного числа („чередование мультиплет-ности“). Номер строки (J., которой принадлежат собственные функции, и здесь также называется магнитным квантовым числом; [х также является целым для четного числа электронов и полуцелым — для нечетного числа.
5. Пусть S — оператор, симметричный относительно О#, т. е. скаляр, на который не оказывает влияния изменение направления осей. Тогда мы знаем, что матричный элемент
