Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, из (2.8) и (2.9) следует теорема 1, а именно равенство (2.7).
‘) Множители а и а обычного произведения матриц пишутся рядом: аа. Матрица же (2.Е.1) есть прямое произведение двух матриц:
/а,с, а,?:.л /М, Мг\
\bidl byd^)
28
Глава 2
Теорема 2. Прямое произведение двух диагональных матриц есть снова диагональная матрица; прямое произведение двух единичных матриц есть единичная матрица. Это легко видеть непосредственно из определения прямых произведений.
В формальных расчетах с матрицами необходимо проверять, действительно ли возможно обозначенное умножение. В гл. 1, где мы всюду имеем дело с квадратными матрицами с п строками и п столбцами, это, разумеется, всегда имело место. Однако в общем случае следует проверить, что разметка строк первого сомножителя в матричном произведении совпадает с разметкой столбцов второго, т. е. что они имеют одинаковые наименования индексов. Прямое произведение двух матриц всегда может быть построено с помощью (2.6).
Матрицы обобщенного типа с несколькими индексами М. Борн и Йордан назвали „суперматрицей11. Они рассматривают матрицу (ац-, ы) как матрицу (Aik), элементы которой Alk сами являются матрицами. При этом А^ есть та матрица, в которой число ctij-ki встречается в j-й строке и I-м столбце:
(o-ij- и) = * = (Aft)* где (Aft)ji = аЧ\ ы- (2.10) Теорема 3. Если а = (Ац') и Р = (Вп-), то яр = у = (Си"),
где
Си- =^Ац'Вгг. (2.11)
г
Правая часть (2.11) состоит из суммы произведений матричных умножений. Мы имеем
(®P)iA; i'ft'5=1,2, аш: i'k$i'k'\ i’k"
С другой стороны,
If (ft; l’k'=(pll'\V =
и
(AwBi'i')kk" = -p (Aw\b> = ^ aik-,i'k'h'k'-, i’k-
Поэтому
и теорема 3 доказана. Конечно, в правой части (2.11) следует соблюдать аккуратность в смысле порядка сомножителей, тогда как в соответствующем соотношении для умножения простых матриц в этом не было необходимости. С этим единственным ограничением суперматрицы можно умножать по правилам умножения простых матриц.
Обобщения
29
В простейшем случае рассмотрим две квадратные матрицы:
«11 «12 а13 «14 Я15 1 Pl2 Pl3 Pl4 Pis"
«21 «22 а23 «24 «25 Р21 Р22 f*23 ^24 Р25
“31 а32 а33 а34 а35 И Р31 Рз2 Рзз Рз4 Р35
«41 “42 “43 “44 а45 Р4, ?42 ?43 ?44 Р45
“51 Я52 а53 а54 а55_ _?51 Рб2 ?53 ?54 Р55 _
Их можно разбить на субматрицы, как показано пунктирными линиями, позаботясь о том, чтобы числа столбцов в субматрицах при разбиении первой матрицы (на 2 и 3) совпадали с числами строк в субматрицах при разбиении второй. Тогда обе матрицы (2.12) сокращенно можно записать в виде
(В и \^21 В22/
Произведение двух матриц (2.12) можно записать как
/Al^ll ^12^21 Al^I2 ~h^I2^22\______ /^11
\-|42|Вц -f- -^22^21 Ai^I2 -^22^22/ 1^21 ^22/
С другой стороны, выражение
/Вп В12\ /Ап ^412\ ^ /ВиАи Bl2A2l .ВпА12 В12Л22\
Ui В22/ \^21 ^22/ WAl ^22^21 ^21^12 ^22-^22/
не имеет смысла, поскольку число столбцов матрицы Вп, например, отлично от числа строк Ап.
Глава 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
В гл. 1 мы установили одно очень важное свойство преобразований подобия. Эти преобразования не меняют след матрицы ¦): матрица а имеет тот же след, что и <з~хя<з. Но является ли след матрицы единственным инвариантом преобразования подобия? Очевидно, нет, так как, например, определитель \<з~ха<з\ также равен определителю |а|. Для получения других инвариантов рассмотрим уравнение л-го порядка относительно X, записанное в виде определителя
21
л1
“12 (*22 X
Ал2
*1л
л2л
ann — X
= 0,
или, короче,
\а — XII =0.
(3.1)
(3.2)
Мы назовем это уравнение секулярным уравнением матрицы а. Секулярное уравнение матрицы р = имеет вид
|Р — XI | = | — XI | =0.
(3.3)
Очевидно, что определитель |а *(*—XI) а| также равен нулю; это можно записать следующим образом:
¦XII
|а| =0.
(3.4)
Уравнение (3.4) показывает, что п корней секулярного уравнения IP — Xl|=0 совпадают2) с п корнями секулярного уравнения
¦) Матрица, над которой производится преобразование подобия, должна быть всегда квадратной. По этой причине мы снова нумеруем
строки и столбцы числами 1, 2.......п.
2) Величины [ о -1 j и | о | являются числами!
Преобразование к главным осям
31
|а— XI |=0. Корни секулярного уравнения, так называемые собственные значения матрицы, являются инвариантами преобразований подобия. Позже мы увидим, что в общем случае матрица не имеет других инвариантов. К тому же след является суммой, а определитель — произведением этих собственных значений, так что их инвариантность включается в сформулированную выше теорему.
Рассмотрим теперь одно собственное значение X,. Определитель матрицы (я— X, 1) равен нулю, так что линейные однородные уравнения
