Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 95

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 254 >> Следующая


П2е =— h* ———h? U v a* v 2 o;cvn u

мы найдем некоторый тензор h'?v, который уже удовлетворяет (10.1.9).

Поэтому будем считать, что amv действительно решение уравнения (10.1.9).

Подставляя (10.1.9) в (10.1.4), можно записать уравнение поля в виде

D2Aliv=-IeitGS1liv. (10.1.10)

Одно из решений представляет собой запаздывающий потенциал

A11

. (x, t) = 4G j d'x' S?v (X'{*llX~X'l) • (10.1.11)

"|AV '

Мы уже отмечали, что закон сохранения (10.1.6) для Jtiv эквивалентен

— Я* —

дх* v 2 dxv-

18 — 0788

^S = (10.1.12) 274

Гл. 10. Гравитационное излучение

и вследствие этого решение (10.1.11) для источника Smv, заключенного в конечный объем, автоматически удовлетворяет условию гармонических координат (10.1.9). (Доказательство этого идентично тому, которое используется в электродинамике при вычислении векторного потенциала с калибровочным условием Лоренца.) К решению (10.1.11) можно добавить любое решение однородного' уравнения:

D2Aliv = O, (10.1.13)

(10.1.14)

dx» V 2 дзу V- К >

Выражение (10.1.11) мы интерпретируем как гравитационное излучение, создаваемое источником Smv, в то время как любой дополнительный член, удовлетворяющий (10.1.13) и (10.1.14), представляет собой гравитационное излучение, приходящее из бесконечности. Появление в (10.1.11) временного аргумента t — — I X — х' I показывает, что гравитационные эффекты распространяются с единичной скоростью, т. е. со скоростью света.

§ 2. Плоские волны

Рассмотрим плоские волновые решения однородных уравнений (10.1.13) и (10.1.14), ибо они играют важную роль сами по себе и, кроме того, как мы увидим далее, запаздывающие волны переходят в плоские при г —»- оо. Общее решение уравнений (10.1.13) и (10.1.14) есть линейная суперпозиция решений, записанная в виде

Vv (х) = eHV exP {ik\xK) + ехр (— ikkx%). (10.2.1) Такое решение удовлетворяет уравнению (10.1.13), если

к JP = 0, (10.2.2)

и условию (10.1.14), если справедливо соотношение

VN = Y^. (10.2.3)

(Опускать и поднимать индексы мы будем по-прежнему с помощью Tj^v, так что kv- = I^vArv.) Матрица е^v с очевидностью симметрична:

^nv = evn- (10-2.4)

Будем называть ее тензором поляризации.

Симметричная матрица (4 X 4) имеет в общем случае десять независимых компонент. Однако четыре соотношения (10.2.3) уменьшают число их до шести, а из этих шести только две компоненты имеют смысл физических степеней свободы. Совершая преобразование координат 6^(^), мы заменяем метрику § 2. Плоские волны

275

rjiiv + ^mv новой метрикой Tjmv + Vi где Hriiv задается выражением (10.1.8). Положим, что мы выбрали є11 (х) в виде

є^ (х) = ігм. exp (ik%xx) — іе»** exp (— ik^x%). (10.2.5)

Тогда (10.1.8) приводит к выражению

V (х) = el>.v exp (UckXx) + e'f?v exp (— ikf.x'-), (10.2.6)

где

V = eiw +Vv + ^vV (10.2.7)

[Заметим, что волны по-прежнему удовлетворяют условию гармоничности координат (10.2.3).] Можно сделать вывод, что для произвольных значений четырех параметров ем тензоры поляризации V и eMV соответствуют одной и той же физической картине. Именно поэтому из шести независимых компонент, удовлетворяющих (10.2.3) и (10.2.4), только 6 — 4 = 2 имеют физическое значение. Например, рассмотрим волны с волновым вектором

A1 = k2 = 0, к3 = к0 = ft > 0, (10.2.8)

распространяющиеся вдоль оси z в сторону возрастающих значений z. В этом случае (10.2.3) приводит к условиям

езі + eOi = е32 + е02 = О,

езз + еоз = — еоз -S0Q = -Y (ен + е22 + езз — еоо).

Эти четыре соотношения позволяют выразить ei0 И Є22 через остальные шесть компонент ^v

eOl= —е31» е02 =—e32i е03 =--2"(е33 + е00)>

е22=—Єн- (10.2.9)

Тогда в системе координат, преобразующейся согласно (10.1.7) и (10.2.5), эти шесть независимых компонент eMV заменяются компонентами V в соответствии с уравнением (10.2.7) следующим образом:

eIl = eIl) е12~е12>

е1з = е1з + &е1> е'23 = е23 + ке2,

ess = езз + 2 Arej, е-0 = е00 — 2 ке0.

Только компоненты еп и е12 имеют абсолютный физический смысл. Действительно, всегда можно найти преобразование координат с

є,=

?13 к

Є.,

?23 к

Єя= -

?зз

2 к

о _ eOO

18* 276

Гл. 10. Гравитационное излучение

которое обратит в нуль все компоненты e^V; кроме е'п, е'12 и ^2 =

= - ей-

Различие между отдельными компонентами тензора поляризации станет ясным, если понять, как меняется eMV при вращении системы координат вокруг оси z, т. е. при следующем преобразовании Лоренца:

^i1 = Cose, Rf = sinO,

^a1=-Sine, i?22 = cos0, (10.2.10)

R33 = R00 = і, все остальные ^v = O.

Поскольку такое преобразование оставляет инвариантным Zcll (т. е. RllvZcv = Zcu), то преобразованию подвергается только тензор e?V, переходящий в тензор

^v = ^pjRvOepa. (10.2.11)

Используя соотношение (10.2.9), найдем

е± = ехр(±2 ів)е±, (10.2.12)

/і = ехр(± ід) /±, (10.2.13)

е'33 = е33, е'ю = е00, (10.2.14)

где

е± = еи + геі2= — е22 + ге12, (10.2.15)

Ї± = Є31+ ІЄ3%= —Є01±ІЄ02. (10.2.16)

Будем говорить, что любая плоская волна ф, преобразующаяся при повороте на угол 0 относительно направления распространения по правилу
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed