Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
П2е =— h* ———h? U v a* v 2 o;cvn u
мы найдем некоторый тензор h'?v, который уже удовлетворяет (10.1.9).
Поэтому будем считать, что amv действительно решение уравнения (10.1.9).
Подставляя (10.1.9) в (10.1.4), можно записать уравнение поля в виде
D2Aliv=-IeitGS1liv. (10.1.10)
Одно из решений представляет собой запаздывающий потенциал
A11
. (x, t) = 4G j d'x' S?v (X'{*llX~X'l) • (10.1.11)
"|AV '
Мы уже отмечали, что закон сохранения (10.1.6) для Jtiv эквивалентен
— Я* —
дх* v 2 dxv-
18 — 0788
^S = (10.1.12)274
Гл. 10. Гравитационное излучение
и вследствие этого решение (10.1.11) для источника Smv, заключенного в конечный объем, автоматически удовлетворяет условию гармонических координат (10.1.9). (Доказательство этого идентично тому, которое используется в электродинамике при вычислении векторного потенциала с калибровочным условием Лоренца.) К решению (10.1.11) можно добавить любое решение однородного' уравнения:
D2Aliv = O, (10.1.13)
(10.1.14)
dx» V 2 дзу V- К >
Выражение (10.1.11) мы интерпретируем как гравитационное излучение, создаваемое источником Smv, в то время как любой дополнительный член, удовлетворяющий (10.1.13) и (10.1.14), представляет собой гравитационное излучение, приходящее из бесконечности. Появление в (10.1.11) временного аргумента t — — I X — х' I показывает, что гравитационные эффекты распространяются с единичной скоростью, т. е. со скоростью света.
§ 2. Плоские волны
Рассмотрим плоские волновые решения однородных уравнений (10.1.13) и (10.1.14), ибо они играют важную роль сами по себе и, кроме того, как мы увидим далее, запаздывающие волны переходят в плоские при г —»- оо. Общее решение уравнений (10.1.13) и (10.1.14) есть линейная суперпозиция решений, записанная в виде
Vv (х) = eHV exP {ik\xK) + ехр (— ikkx%). (10.2.1) Такое решение удовлетворяет уравнению (10.1.13), если
к JP = 0, (10.2.2)
и условию (10.1.14), если справедливо соотношение
VN = Y^. (10.2.3)
(Опускать и поднимать индексы мы будем по-прежнему с помощью Tj^v, так что kv- = I^vArv.) Матрица е^v с очевидностью симметрична:
^nv = evn- (10-2.4)
Будем называть ее тензором поляризации.
Симметричная матрица (4 X 4) имеет в общем случае десять независимых компонент. Однако четыре соотношения (10.2.3) уменьшают число их до шести, а из этих шести только две компоненты имеют смысл физических степеней свободы. Совершая преобразование координат 6^(^), мы заменяем метрику§ 2. Плоские волны
275
rjiiv + ^mv новой метрикой Tjmv + Vi где Hriiv задается выражением (10.1.8). Положим, что мы выбрали є11 (х) в виде
є^ (х) = ігм. exp (ik%xx) — іе»** exp (— ik^x%). (10.2.5)
Тогда (10.1.8) приводит к выражению
V (х) = el>.v exp (UckXx) + e'f?v exp (— ikf.x'-), (10.2.6)
где
V = eiw +Vv + ^vV (10.2.7)
[Заметим, что волны по-прежнему удовлетворяют условию гармоничности координат (10.2.3).] Можно сделать вывод, что для произвольных значений четырех параметров ем тензоры поляризации V и eMV соответствуют одной и той же физической картине. Именно поэтому из шести независимых компонент, удовлетворяющих (10.2.3) и (10.2.4), только 6 — 4 = 2 имеют физическое значение. Например, рассмотрим волны с волновым вектором
A1 = k2 = 0, к3 = к0 = ft > 0, (10.2.8)
распространяющиеся вдоль оси z в сторону возрастающих значений z. В этом случае (10.2.3) приводит к условиям
езі + eOi = е32 + е02 = О,
езз + еоз = — еоз -S0Q = -Y (ен + е22 + езз — еоо).
Эти четыре соотношения позволяют выразить ei0 И Є22 через остальные шесть компонент ^v
eOl= —е31» е02 =—e32i е03 =--2"(е33 + е00)>
е22=—Єн- (10.2.9)
Тогда в системе координат, преобразующейся согласно (10.1.7) и (10.2.5), эти шесть независимых компонент eMV заменяются компонентами V в соответствии с уравнением (10.2.7) следующим образом:
eIl = eIl) е12~е12>
е1з = е1з + &е1> е'23 = е23 + ке2,
ess = езз + 2 Arej, е-0 = е00 — 2 ке0.
Только компоненты еп и е12 имеют абсолютный физический смысл. Действительно, всегда можно найти преобразование координат с
є,=
?13 к
Є.,
?23 к
Єя= -
?зз
2 к
о _ eOO
18*276
Гл. 10. Гравитационное излучение
которое обратит в нуль все компоненты e^V; кроме е'п, е'12 и ^2 =
= - ей-
Различие между отдельными компонентами тензора поляризации станет ясным, если понять, как меняется eMV при вращении системы координат вокруг оси z, т. е. при следующем преобразовании Лоренца:
^i1 = Cose, Rf = sinO,
^a1=-Sine, i?22 = cos0, (10.2.10)
R33 = R00 = і, все остальные ^v = O.
Поскольку такое преобразование оставляет инвариантным Zcll (т. е. RllvZcv = Zcu), то преобразованию подвергается только тензор e?V, переходящий в тензор
^v = ^pjRvOepa. (10.2.11)
Используя соотношение (10.2.9), найдем
е± = ехр(±2 ів)е±, (10.2.12)
/і = ехр(± ід) /±, (10.2.13)
е'33 = е33, е'ю = е00, (10.2.14)
где
е± = еи + геі2= — е22 + ге12, (10.2.15)
Ї± = Є31+ ІЄ3%= —Є01±ІЄ02. (10.2.16)
Будем говорить, что любая плоская волна ф, преобразующаяся при повороте на угол 0 относительно направления распространения по правилу