Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
К сожалению, теория гравитационного излучения очень сложна из-за нелинейности уравнений Эйнштейна. В духе идей § 6 гл. 7 можно сказать, что любая гравитационная волна и сама является некоторым распределением энергии и импульса, вносящим вклад в гравитационное поле этой волны. Это усложнение не позволяет найти общие радиационные решения точных уравнений Эйнштейна. § 1. Приближение слабого поля
271
Существуют два пути обхода этой трудности. Первый — изучать радиационные решения уравнений Эйнштейна только для слабых полей, которые описывают волны, переносящие не столь большие энергию и импульс, чтобы это влияло на их собственное распространение. Второй — длинный и сложный — это искать частные решения точных полевых уравнений Эйнштейна. Благодаря многим математическим ухищрениям во втором случае удалось получить довольно изящные результаты. Однако эту главу мы посвятим только первому подходу — рассмотрению слабых полей. Одна из причин этого состоит в том, что интенсивность любого гравитационного излучения, по-видимому, очень низка. Другая — более глубокая — связана с тем, что придать точный смысл понятию элементарная частица можно, только рассматривая ее вдали от всех других частиц, а для гравитонов это как раз и соответствует решению полевых уравнений в приближении слабого поля.
Читатель не должен отсюда делать вывод, что невозможность найти общие точные решения нелинейных полевых уравнений оставляет какой-то фундаментальный пробел в нашем понимании теории гравитации. Действительно, аналогичные проблемы возникают и в электродинамике, где точный расчет электромагнитного поля, создаваемого затухающим током электрического осциллятора, является сильно нелинейной задачей, поскольку поле само действует на ток, его создавший. Хотя эта проблема не была решена и много лет спустя после создания теории Максвелла, не оставалось сомнений, что электрические осцилляторы порождают электромагнитные волны, изучением которых занимался Максвелл. Гравитационные волны — более сложное явление, чем электромагнитные, так как они дают вклад в свой собственный источник и вне материальной гравитационной антенны. Однако если мы находимся далеко — в волновой зоне, где поля слабые, то как электромагнитные, так и гравитационные волны обладают простыми свойствами.
§ 1. Приближение слабого поля
Предположим, что метрика близка к метрике Минковского r|MV
gnv = 11nv + ^v, (10.1.1)
где I Ajiv I 1. В первом порядке по А тензор Риччи имеет вид
^V « ^ rj^Itv+ O(A2)j (10.1.2)
а аффинная связность
- 4- ^p ftPV + 55 ¦V- ^P к,] +О (А2). (10.1.3) 272
Гл. 10. Гравитационное излучение
Коль скоро мы ограничились первым порядком по А, то поднимать и опускать все индексы следует с помощью Tjtxv, а не т. е.
ifpapvssaxv, n^-^ит. д.
При таком подходе уравнения (10.1.2) и (10.1.3) дают тензор Риччи в первом порядке:
D п<1>= JZn2A 32 h% 9 hx і 92 аМ
Следовательно, уравнения поля Эйнштейна запишутся следующим образом:
a^--SPfe- + -I6n65llvt (10.1.4)
^hv= ^HV--^T tVV^N.- (10.1.5)
Здесь Tiiv берется в низшем порядке по amv, т. е. не зависит от aliv, и удовлетворяет обычному закону сохранения
= 0. (10.1.6)
(Если гравитационные силы играют важную роль в структуре излучающей системы, то вместо T^v можно использовать см. § 6 гл. 7.) Отметим, что закон сохранения (10.1.6), записанный в такой форме, обеспечивает согласованность уравнений (10.1.4), поскольку (10.1.6) предполагает справедливость соотношения
__і а о*
a* v~ 2 дхуй ь
в то время как линеаризованный тензор Риччи удовлетворяет тождеству Бианки в следующей форме:
1 1 dRw\
Ja _ і д г „л. і і
дх» V~ 2 9о» 1иЛ
dxv
Как уже обсуждалось в § 4 гл. 7, нельзя ожидать, что такое уравнение поля, как (10.1.4), приведет к единственному решению, поскольку, задав любое решение, можно всегда заменой координат получить другие решения. Наиболее общее преобразование координат, оставляющее поле слабым, имеет вид
= + (10.1.7)
где d&»!dxv — самое большее того же порядка величины, что и Aliv. В новой системе координат метрика записывается в форме
If'iw = d^lgkF
s д^ дхР ё § 1. Приближение слабого поля
273
или, так как ~ Tjliv — A^v, можно записать
Таким образом, если A^v есть решение уравнения (10.1.4), то должно быть
где ед = evrjMV есть четыре малые, а в остальном произвольные функции ОТ X^. В том, что (10.1.8) тоже есть решение, можно убедиться непосредственно, подставляя его в уравнение (10.1.4); это свойство — следствие так называемой калибровочной инвариантности уравнения поля.
Калибровочная инвариантность уравнения поля (10.1.4) создает трудности, когда приходится явно решать уравнение. Однако эти трудности можно устранить, выбирая какую-нибудь частную калибровку, т. е. некоторую систему координат. Наиболее удобно работать в системе гармонических координат, для которых
^v = 0.
Если использовать (10.1.3), то в первом порядке получаем
г'-тг'- <10Л-9>
То, что такой выбор всегда возможен, следует из общих соображений, приведенных в § 4 гл. 7; из выражения (10.1.8) можно также видеть, что если Amv не удовлетворяет (10.1.9), то, совершая преобразования координат (10.1.7), при условии
