Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 8

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 254 >> Следующая


Гаусс нашел такую функцию и показал ее единственность; это — так называемая кривизна Гаусса

1 b д^и 0^22
дх{ дх2 дх\ dxl
§22 4g2 Г ( dgu L V Sxi \ /о dSii ) \ Ox2 Sgii дхJ

]-

)-(?)']+

, rg 12 Г ( dg и \ / Pg22 \ 0 / dgH \ / Bg22 \ ^ 4g2 L I Sxi ) \ дх2 I * \ дх2 ) \ dXi ) ^

1 \ Oxl дх2 / \ Ox2 дхі / J

HM(jSl)(2^1--IS-MjIгП- (1-1-1?

где g—детерминант

g(xit x2) = gng22~g\2.

(Пусть читатель не теряет присутствия духа от ужасного вида этой формулы. В гл. 6, вводя более мощный математический 22

Гл. 1. Историческое введение

аппарат, мы сможем извлечь и обсудить понятие кривизны в более компактных и изящных обозначениях.) Применяя формулу (1.1.12) к метрическим функциям (1.1.8) и (1.1.9), находим, что сфера есть пространство с постоянной положительной кривизной

K = ^r (сфера), (1.1.13)

а пространство Гаусса, Бойяи и Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну

Я=--І-(ГБЛ). (1.1.14)

(Кстати, в понятии «отрицательная кривизна» нет ничего экзотического; обычное седло имеет отрицательную кривизну. Однако то, что кривизна К постоянна, не дает возможности реализовать геометрию Гаусса, Бойяи, Лобачевского на обычных искривленных поверхностях. Очевидно также, что только при постоянной К можно удовлетворить другим постулатам Евклида, поскольку эти постулаты описывают истинно однородное пространство. Если же К при переходе от точки к точке меняется, то и внутренние свойства пространства изменяются вместе с ней.) И наконец, применив формулу для К к метрике (1.1.10), описывающей плоскость в полярных координатах, получим, как и следовало ожидать,

K = 0 (плоскость). (1.1.15)

Таким образом, даже допуская произвол при выборе системы координат, мы можем выявить внутренние свойства пространства, вычисляя непосредственно величину К.

После того как это было выяснено, математики довольно скоро занялись проблемой описания внутренних свойств кривых пространств, имеющих три или более измерений. Однако обобщение работы Гаусса на более чем два измерения оказалось нетривиальным делом, поскольку внутренние свойства таких пространств нельзя описать единственной функцией кривизны К.

В пространстве D-измерений имеется D (D + 1)/2 независимых метрических функций gij; так как мы вольны в выборе D координат, остается

c^D(D + i) D D(D-I) 2 2

функций, которые и определяют внутренние свойства пространства. При D — 2 C = 1, что и было получено Гауссом. При D >¦ 2, С >¦ 1, и геометрия усложняется. Эта проблема была полностью решена Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826—-1866), изложившим в 1854 г. то, что мы сейчас называем рима-новой геометрией, в своей лекции при торжественном вступлении § 2. История создания теории тяготения

23

в должность в Геттингене «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» х). Последующие работы Кристоффеля, Риччи, Леви-Чи-вита, Бельтрами и других развили идеи Римана и превратили их в прекрасную математическую конструкцию, описанную в терминах тензорного анализа и кривизны в главах этой книги. Но только Эйнштейну удалось понять, каким образом можно использовать в физике неевклидову геометрию.

§ 2. История создания теории тяготения

Исаак Ньютон (1642—1727), заканчивая свои «Начала», назвал гравитацию причиной того, что взаимодействие Солнца и планет осуществляется «пропорционально количеству твердой материи, содержащейся в них, и распространяется во все стороны на бесконечное расстояние, а сила взаимодействия убывает всегда обратно пропорционально квадрату расстояния» [7]. Закон Ньютона состоит из двух частей, которые были открыты различными путями и каждая из которых сыграла свою роль в развитии механики от Ньютона до Эйнштейна.

Начнем, естественно, с открытия Галилео Галилея (1564— 1642), который обнаружил, что скорость свободного падения тел не зависит от их массы. Его инструментами были наклонная плоскость, служившая для замедления падения тел, водяные часы для измерения времени и маятник для исключения трения качения. Эти опыты позже были улучшены Христианом Гюйгенсом (1629—1695). Таким образом, Ньютон мог применить свой второй закон и прийти к выводу, что сила, вызванная гравитацией, пропорциональна массе тела, на которое она действует. Третий закон утверждает, что сила пропорциональна также и массе тела, являющегося источником силы.

Ньютон вполне сознавал, что эти выводы справедливы, вероятно, только приближенно и что «инертная масса», входящая во второй закон, может и не быть в точности такой же, как «гравитационная масса», содержащаяся в законе гравитации. Если бы так оказалось, то второй закон Ньютона нужно было бы записать в виде

F = IriiSL, (1.2.1)

а закон гравитации в виде

F = mg g, (1.2.2)

гДе g есть поле, зависящее от координат и от масс других тел. В любой заданной точке ускорение тогда задавалось бы следующим

') См. Риман Б,, Соч., М.— JI., 1948.— Прим. перее. 24

Гл. 1. Историческое введение

тдА 9 і

™дА9

тдв9

Фиг. 1.2. Схема эксперимента Этвеша.

образом:

a=(-^-)g. (1.2.3)

Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed