Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 8.2
Интерферометрические измерения величин отклонения Солнцем радиоволн, приходящих от источника ЗС279
Данные выражены через угол отклонения 8д, соответствующий радиосигналу, который касается солнечного диска.
Аппаратура Радарные частоты, Мгд Базис, km Время затмения flg. угловые секунды Литература
Оуэнс-Вэлли 9602 1,0662 30.9.1969—15.10.1969 1,77+0,20 [43]
Голдстоун 2388 21,566 2.10.1969-10.10.1969 1 82+°'24 ' —0,17 [44]
» 7840 3899,92 30.9.1969—15.10.1969 1,80+0,2 [45]
Грин-Бэнк 2695 и 2,7 2.10.1970—12.10.1970 1,57+0,08 [46]
8085
2697 и 1,41 8.10.1970 1,87+0,3 [47]
4993,8
подтверждается, но достигнутая точность все еще недостаточна, чтобы сделать выбор между теориями Эйнштейна и Бранса — Дикке. Однако данные, полученные на интерферометрах с очень большими базисами (например, «Голдстоун», имеющий базис 3900 км), дают в принципе достаточно информации для измерения углового положения с точностью около 0,001". Можно надеяться, что анализ этих данных позволит наконец действительно точно определить у- § 6. Замкнутые орбиты: смещение перигелия
211
§ 6. Замкнутые орбиты: смещение перигелия
Рассмотрим теперь пробную частицу, которая движется по околосолнечной орбите (фиг. 8.2). В перигелии и афелии г достигает своего минимального и максимального значения г_ и г+ и в обеих точках равно нулю dr/d(p, так что (8.4.29) дает
_1___1 ___Е_
г«. J2B (г±) — /2 "
Из этих двух уравнений можно вывести величины двух интегралов движения
r\ rl
E=B{riJ(r-} , (8.6.1)
г+—1-
1___1
j2=B(r+) В (г.) _ (8<6 2)
rl
Угол, на который поворачивается вектор положения г от начального направления г_, задается уравнением (8.4.30) в виде
г-
Используя (8.6.1) и (8.6.2), получаем
со M- ш/rU f ГГ-(5"' W--6"1 (r-))-rS(B-l (г)-B-* (г+))__1_-1-V2
VVl VV-) JL r+2r5.(S-l(r+)-?-l(r_)) гЧ А
— T
X А1'2 (г) r~2 dr. (8.6.3)
Изменение ф при уменьшении г ОТ 7+ ДО Г- то же, что и при возрастании г от г. к г+, поэтому общее изменение угла ф при полном обороте равно 2 | ф (г+) — ф (г_) |. Если орбита представляла бы собой замкнутый эллипс, эта величина равнялась бы 2я, поэтому в общем случае при каждом повороте орбита прецессирует на угол, равный
Дф = 2 I ф (г+) - ф (r_) I - 2я. (8.6.4)
Если подставить точные значения А (г) и В (г), даваемые решением Шварцшильда (8.2.10) и (8.2.11), в выражение (8.6.3), получим формулы для ф (г) и Дф в виде эллиптических интегралов. Для того чтобы вычислить их численно, следовало бы разложить эти интегралы по степеням величин MGIr и MGIrzt.
14* 212 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
а
еа
Фиг. 8.2. Элементы эллипса, используемые при вычислении прецессии планетарных орбит. Эллипс имеет здесь тот же эксцентриситет, что и орбита Икаруса.
Вместо этого мы разложим подынтегральное выражение, используя разложения Робертсона (8.3.8) и (8.3.9) для А (г) и В (г):
4(/-) = 1 + 27-^-+...,
B(T),= 1-^-+ +,.. . (8'6'5)
Отметим, что в выражении (8.6.3) полностью сокращаются главные члены в В (г), но не в А (г). Поэтому, чтобы вычислить ф и Аф в первом порядке по Mg/r±, необходимо в В (г) учесть члены второго порядка по MG/r, в то время как в А (г) можно ограничиться членами только первого порядка.
Дальнейшие вычисления сильно облегчаются, если заметить, что разложение
делает подкоренное выражение первого квадратного корня в (8.6.3) квадратичной функцией от 1 Ir. Кроме того, это выражение обращается в нуль при г = г±, а потому
(В-1 (г) - B-I (rJ)-r+4B-i (г)-Д-> (Q)
г А-2 (В'1 <r+)-B-1 (г_))
__1__
"ГГ —
§ 6. Замкнутые орбиты: смещение перигелия
213
Постоянную С здесь можно определить, если устремить г к бесконечности:
г\ {{-В-Цг-B-Hr-)) r+r-(B-Hr+)-B-Hr-))
Умножая далее числитель и знаменатель на 2 (r_ — r+)/MG, получаем
С ж + у) MG (-?- + —) ¦ (8.6.7)
Подстановка (8.6.5)-(8.6.7) в (8.6.3) дает
О+jeT1]*
X
]
[(ЧІНІЧ)Г'
Если ввести новую переменную г); с помощью соотношения
то интеграл становится тривиальным. Результат имеет вид Ф (г)-ф(г_)=[1 + 4(2-р + 27) MG(-±- + ±)] +
С08ф. (8.6.9)
В афелии ф равно я/2, так что (8.6.4) и (8.6.9) дают следующую прецессию при одном обороте (в единицах рад/об):
где L — характеристика эллипса, называемая фокальным параметром:
J- = J- M1M
L — 2 I г+ + г. ) •
Элементы планетарных орбит — большую ось а и эксцентриситет е, определяемые следующим образом:
r± = (1 ± е) а,
находят обычно из таблиц. Следовательно, используя формулу
L = (1 - е2) а,
можно, зная а и е, определить L. Уравнения поля Эйнштейна дают ? = ^ = !, что предсказывает следующую прецессию (в еди- 214 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
ницах рад/об):
ДФ = 6jt • (8.6.11)
Величина Дф положительная, и это означает, что в целом орбита прецессирует в том же направлении, в котором движется пробная частица. В теории Бранса — Дикке соотношения (8.6.10) и (8.3.3) дают
^-(-sT2-) (Ш- <"•">
Здесь нам снова следует задаться вопросом: что же означает это предсказываемое значение Дф? Рассматриваемый случай не является экспериментом по рассеянию, подобно отклонению света Солнцем; здесь мы имеем дело с объектом, который никогда не уходит на бесконечность, где пространство-время описывается метрикой Минковского. При любом наблюдении за движением пробной частицы с помощью оптических приборов или радаров астрономы используют световые лучи, которые сами находятся под воздействием гравитационного поля, и если не внести поправки на отклонение света, то для любого заданного радиуса г наблюдаемая астрономом величина ф (г) будет содержать ошибку порядка MGIL [см. выражение (8.5.8)]. Однако на практике эти тонкости не играют существенной роли, так как прецессия — величина кумулятивная. Из выражения (8.6.10) видно, что после N оборотов перигелий сместится на угол порядка NMG/L. Поэтому если N 1, т0 нет необходимости учитывать в ф ошибки порядка MG/L. Действительно, выражение (8.6.11) утверждает, что после L/3MG 1 оборотов перигелий вернется к своему первоначальному азимуту — предсказание, которое совершенно не связано с тем, как мы определяем г или ф.
